Feladat: B.3618 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Backhausz Ágnes ,  Birkus Róbert ,  Bódi Balázs ,  Czank Tamás ,  Fehér Gábor ,  Garab Ábel ,  Gidófalvy Kitti ,  Gombkötő Tamás ,  Gyarmati Ákos ,  Hubai Tamás ,  Jankó Zsuzsanna ,  Kiss-Tóth Christián ,  Komjáthy Júlia ,  Korotij Ágnes ,  Kórus Péter ,  Pálinkás Csaba ,  Papp Márton ,  Peres Sámuel ,  Pongrácz András ,  Rácz Judit ,  Reiss Tibor ,  Ruppert László Gábor ,  Salát Máté ,  Sándor Ágnes ,  Sándor Nóra Katalin ,  Simon Balázs ,  Strenner Balázs ,  Szalai Attila ,  Tölgyesi Csaba 
Füzet: 2004/január, 24 - 25. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Rombuszok, Alakzatba írt kör, Hasonlósági transzformációk, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/február: B.3618

Az ABCD rombusz AB oldalának B-n túli meghosszabbításán lévő E és F pontokból a rombusz beírt köréhez húzott érintők az AD egyenest az E' és F' pontokban metszik. Határozzuk meg a DE':DF' arányt, ha tudjuk, hogy BE:BF=λ:μ.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Először belátunk egy lemmát, amiből feladatunk megoldása már egyszerűen következik.

 

Lemma. Ha az ABCD rombusz AB oldalának B-n túli meghosszabbításán lévő P pontból a rombusz beírt köréhez húzott érintő az AD egyenest a P' pontban metszi, a rombusz beírt körének középpontja pedig O, akkor
P'D:DO=OB:BP.

 
 

Jelöljük az APP' háromszög szögeit az ábrán látható módon 2φ, 2α, 2β-val. Mivel a rombusz beírt köre egyúttal az APP' háromszög beírt köre is, azért O a háromszög szögfelezőinek metszéspontja. Tehát DP'O=OP'P=β és BPO=OPP'=α. Az OPP' háromszög harmadik szöge tehát
POP'=180-(α+β)=90+φ.
Mivel ABCD rombusz, a BCD háromszög egyenlő szárú és C-nél lévő szöge 2φ. Ezért CBD=CDB=180-2φ2=90-φ. A rombusz szemközti oldalai párhuzamosak, ezért P'DC=CBP=DAB=2φ, így kapjuk, hogy
P'DO=P'DC+CDB=2φ+(90-φ)=90+φ=P'OP
és
OBP=DBC+CBP=(90-φ)+2φ=90+φ=P'OP.
Ez viszont azt jelenti, hogy a P'DO és az OBP háromszög is hasonló a P'OP háromszöghöz, mert két-két megfelelő szögük megegyezik. Ekkor viszont a két háromszög egymáshoz is hasonló, tehát megfelelő oldalaik aránya megegyezik, amiből következik a bizonyítandó P'D:DO=OB:BP állítás.  
 
Visszatérve eredeti feladatunkra: A lemma állítását az E és F pontokra alkalmazva kapjuk, hogy E'D:DO=OB:BE és F'D:DO=OB:BF. A két egyenlőséget elosztva egymással adódik a keresett arány: E'D:F'D=BF:BE=μ:λ.
 Sándor Nóra Katalin (Pápai Ref. Koll. Gimn., 12. évf.) dolgozatát felhasználva