Kezdőlap


Feladat:	B.3618	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Backhausz Ágnes , Birkus Róbert , Bódi Balázs , Czank Tamás , Fehér Gábor , Garab Ábel , Gidófalvy Kitti , Gombkötő Tamás , Gyarmati Ákos , Hubai Tamás , Jankó Zsuzsanna , Kiss-Tóth Christián , Komjáthy Júlia , Korotij Ágnes , Kórus Péter , Pálinkás Csaba , Papp Márton , Peres Sámuel , Pongrácz András , Rácz Judit , Reiss Tibor , Ruppert László Gábor , Salát Máté , Sándor Ágnes , Sándor Nóra Katalin , Simon Balázs , Strenner Balázs , Szalai Attila , Tölgyesi Csaba
Füzet:	2004/január, 24 - 25. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Rombuszok, Alakzatba írt kör, Hasonlósági transzformációk, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/február: B.3618

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Először belátunk egy lemmát, amiből feladatunk megoldása már egyszerűen következik.

Lemma. Ha az

A B C D

rombusz

A B

oldalának

B

-n túli meghosszabbításán lévő

P

pontból a rombusz beírt köréhez húzott érintő az

A D

egyenest a

P'

pontban metszi, a rombusz beírt körének középpontja pedig

O

, akkor

\begin{matrix} P' D : D O = O B : B P . \end{matrix}

Jelöljük az

A P P'

háromszög szögeit az ábrán látható módon

2 φ

2 α

2 β

-val. Mivel a rombusz beírt köre egyúttal az

A P P'

háromszög beírt köre is, azért

O

a háromszög szögfelezőinek metszéspontja. Tehát

D P' O ∢ = O P' P ∢ = β

és

B P O ∢ = O P P' ∢ = α

. Az

O P P'

háromszög harmadik szöge tehát

\begin{matrix} P O P' ∢ = 180^{\circ} - (α + β) = 90^{\circ} + φ . \end{matrix}

Mivel

A B C D

rombusz, a

B C D

háromszög egyenlő szárú és

C

-nél lévő szöge

2 φ

. Ezért

C B D ∢ = C D B ∢ = \frac{180^{\circ} - 2 φ}{2} = 90^{\circ} - φ

. A rombusz szemközti oldalai párhuzamosak, ezért

P' D C ∢ = C B P ∢ = D A B ∢ = 2 φ

, így kapjuk, hogy

\begin{matrix} P' D O ∢ = P' D C ∢ + C D B ∢ = 2 φ + (90^{\circ} - φ) = 90^{\circ} + φ = P' O P ∢ \end{matrix}

és

\begin{matrix} O B P ∢ = D B C ∢ + C B P ∢ = (90^{\circ} - φ) + 2 φ = 90^{\circ} + φ = P' O P ∢ . \end{matrix}

Ez viszont azt jelenti, hogy a

P' D O

és az

O B P

háromszög is hasonló a

P' O P

háromszöghöz, mert két-két megfelelő szögük megegyezik. Ekkor viszont a két háromszög egymáshoz is hasonló, tehát megfelelő oldalaik aránya megegyezik, amiből következik a bizonyítandó

P' D : D O = O B : B P

állítás.

□

Visszatérve eredeti feladatunkra: A lemma állítását az

E

és

F

pontokra alkalmazva kapjuk, hogy

E' D : D O = O B : B E

és

F' D : D O = O B : B F

. A két egyenlőséget elosztva egymással adódik a keresett arány:

E' D : F' D = B F : B E = μ : λ

Sándor Nóra Katalin (Pápai Ref. Koll. Gimn., 12. évf.) dolgozatát felhasználva