Feladat: C.719 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 2004/január, 22 - 23. oldal  PDF file
Témakör(ök): Logaritmusos egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/április: C.719

Oldjuk meg az
1log12x+1log23x+...+1log910x=1
egyenletet a valós számok halmazán.
(Hajdú-Bihar megyei középiskolák matematika versenye 2002/2003

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Felhasználva a logaritmus ismert azonosságait, térjünk át az (1) összeg minden tagjának nevezőjében 10-es alapú logaritmusra:

log12x=lgxlg1-lg2=lgx-lg2,log23x=lgxlg2-lg3,log910x=lgxlg9-lg10=lgxlg9-1.
A reciprok értékeket (1)-be beírva kapjuk, hogy:
-lg2lgx+lg2-lg3lgx+...+lg9-1lgx=1.
Elvégezhetjük az összevonásokat, a közös nevező lgx0, azaz x1, így az egyenlet lgx=-1, ahonnan x=110 a megoldás.