Kezdőlap


Feladat:	C.719	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	2004/január, 22 - 23. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Logaritmusos egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/április: C.719

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Felhasználva a logaritmus ismert azonosságait, térjünk át az (1) összeg minden tagjának nevezőjében 10-es alapú logaritmusra:

\begin{matrix} \begin{matrix} log_{\frac{1}{2}} x & = & \frac{lg x}{lg 1 - lg 2} = \frac{lg x}{- lg 2}, \\ log_{\frac{2}{3}} x & = & \frac{lg x}{lg 2 - lg 3}, \\ ⋮ \\ log_{\frac{9}{10}} x & = & \frac{lg x}{lg 9 - lg 10} = \frac{lg x}{lg 9 - 1} . \end{matrix} \end{matrix}

A reciprok értékeket (1)-be beírva kapjuk, hogy:

\begin{matrix} \frac{- lg 2}{lg x} + \frac{lg 2 - lg 3}{lg x} + ... + \frac{lg 9 - 1}{lg x} = 1. \end{matrix}

Elvégezhetjük az összevonásokat, a közös nevező

lg x \neq 0

, azaz

x \neq 1

, így az egyenlet

lg x = - 1

, ahonnan

x = \frac{1}{10}

a megoldás.