Feladat: 3579. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Rácz Éva 
Füzet: 2003/október, 440 - 441. oldal  PDF file
Témakör(ök): Lineáris gyorsító, Proton, Atommagok tömege, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/december: 3579. fizika feladat

Ugyanakkora gyorsítófeszültség hatására hányszor nagyobb sebességre gyorsul fel vákuumban egy proton, mint egy α-részecske, ha kezdeti sebességük elhanyagolható?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha az U gyorsítófeszültség ,,nem túl nagy'', a mozgás nemrelativisztikus (a sebességek elhanyagolhatók a fénysebesség mellett), és számolhatunk a newtoni dinamika törvényeivel. Tekintsük először azt az esetet, amikor egy q töltésű, m tömegű részecske U gyorsítófeszültség hatására v sebességre tesz szert. A munkatétel szerint

qU=12mv2,ahonnanv=2Uqm.
Látható, hogy adott U esetén a végsebesség a részecske q/m fajlagos töltésének négyzetgyökével arányos. Mivel a proton fajlagos töltése 2-szer nagyobb, mint az α-részecskéé, a kérdéses sebességarány:
vpvα=qpmpmαqα=qpmp4mp2qp=2.

Ha egy m0 nyugalmi tömegű, q töltésű részecskét a fénysebességgel összemérhető sebességre gyorsítunk, akkor a munkatétel relativisztikus alakját kell alkalmaznunk:
qU+m0c2=m0c21-v2/c2.

Innen a sebességet kifejezve:
v=c1-(1+qUm0c2)-2.
Ebben a kifejezésben is a részecskének csak a fajlagos töltése szerepel, de más formában, mint a nemrelativisztikus esetben. A kérdéses sebességarány:
vpvα=1-(1+eUmpc2)-21-(1+eU2mpc2)-2,
ahol e a proton töltése (az elemi töltés), mp pedig a proton nyugalmi tömege. Ez a kifejezés eUmpc2 esetben kb. 2, ha viszont a gyorsítófeszültséget gigavolt (109 V) nagyságrendűre, vagy még ennél is nagyobbra növeljük (ennél a feszültségnél éri el a proton mozgási energiája a nyugalmi energia nagyságrendjét), akkor a sebességarány egyre csökken, és az eUmpc2 határesetben
vpvα1.

(Rácz Éva (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 12. o.t.) dolgozata alapján