Kezdőlap


Feladat:	3579. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Rácz Éva
Füzet:	2003/október, 440 - 441. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Lineáris gyorsító, Proton, Atommagok tömege, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/december: 3579. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha az $U$ gyorsítófeszültség ,,nem túl nagy'', a mozgás nemrelativisztikus (a sebességek elhanyagolhatók a fénysebesség mellett), és számolhatunk a newtoni dinamika törvényeivel. Tekintsük először azt az esetet, amikor egy $q$ töltésű, $m$ tömegű részecske $U$ gyorsítófeszültség hatására $v$ sebességre tesz szert. A munkatétel szerint

\begin{matrix} q U = \frac{1}{2} m v^{2}, ahonnan v = \sqrt[]{2 U \frac{q}{m}} . \end{matrix}

Látható, hogy adott

U

esetén a végsebesség a részecske

q / m

fajlagos töltésének négyzetgyökével arányos. Mivel a proton fajlagos töltése 2-szer nagyobb, mint az

α

-részecskéé, a kérdéses sebességarány:

\begin{matrix} \frac{v_{p}}{v_{α}} = \sqrt[]{\frac{q_{p}}{m_{p}} \cdot \frac{m_{α}}{q_{α}}} = \sqrt[]{\frac{q_{p}}{m_{p}} \cdot \frac{4 m_{p}}{2 q_{p}}} = \sqrt[]{2} . \end{matrix}

Ha egy

m_{0}

nyugalmi tömegű,

q

töltésű részecskét a fénysebességgel összemérhető sebességre gyorsítunk, akkor a munkatétel relativisztikus alakját kell alkalmaznunk:

\begin{matrix} q U + m_{0} c^{2} = \frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt[]{1 - v^{2} / c^{2}}} . \end{matrix}

Innen a sebességet kifejezve:

\begin{matrix} v = c \sqrt[]{1 - {(1 + \frac{q U}{m_{0} c^{2}})}^{- 2}} . \end{matrix}

Ebben a kifejezésben is a részecskének csak a fajlagos töltése szerepel, de más formában, mint a nemrelativisztikus esetben. A kérdéses sebességarány:

\begin{matrix} \frac{v_{p}}{v_{α}} = \sqrt[]{\frac{1 - {(1 + \frac{e U}{m_{p} c^{2}})}^{- 2}}{1 - {(1 + \frac{e U}{2 m_{p} c^{2}})}^{- 2}}}, \end{matrix}

ahol

e

a proton töltése (az elemi töltés),

m_{p}

pedig a proton nyugalmi tömege. Ez a kifejezés

e U ≪ m_{p} c^{2}

esetben kb.

\sqrt[]{2}

, ha viszont a gyorsítófeszültséget gigavolt (

10^{9}

V) nagyságrendűre, vagy még ennél is nagyobbra növeljük (ennél a feszültségnél éri el a proton mozgási energiája a nyugalmi energia nagyságrendjét), akkor a sebességarány egyre csökken, és az

e U ≫ m_{p} c^{2}

határesetben

\begin{matrix} \frac{v_{p}}{v_{α}} \to 1. \end{matrix}

() Rácz Éva (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 12. o.t.) dolgozata alapján