Feladat: 3577. fizika feladat Korcsoport: - Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Sándor Nóra Katalin 
Füzet: 2003/május, 310 - 311. oldal  PDF file
Témakör(ök): Önindukció, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/december: 3577. fizika feladat

Határozzuk meg egy téglalap keresztmetszetű toroid induktivitását! A tekercs menetszáma N, középkörének sugara R, a téglalap oldalai a és b. (Az a hosszúságú oldal párhuzamos a toroid tengelyével.)
Adatok: N=1000, R=10cm, a=6cm, b=4cm.
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A gerjesztési törvény szerint BΔs=μ0ΔI. Ha a toroid tengelyétől r távolságban a mágneses indukcióvektor nagysága B(r) és a tekercsen átfolyó áram I, akkor

2rπB(r)=μ0NI,azazB(r)=μ0NI2π1r.

 
 

Osszuk fel a toroid keresztmetszetét a b oldal mentén kicsiny Δr szélességű sávokra, és egy-egy sávon belül a mágneses mező változását ‐ a sáv keskenysége miatt ‐ ne vegyük számításba. Az i-edik kicsiny téglalapon áthaladó mágneses fluxus ebben a közelítésben
ΔΦiμ0NIa2πΔrri,
a toroidon áthaladó teljes fluxus pedig
Φμ0NIa2πi=1nΔrri,
ahol n=bΔr és R-b2<ri<R+b2. Az N menetes terkercs L önindukciós együtthatója és a fluxus közötti kapcsolat NΦ=LI, innen a keresett induktivitás
Lμ0N2a2πi=1nΔrri.
A közelítés a felosztás finomításával egyre pontosabbá tehető, és határértékben (amikor az összeg egy integrállal adható meg)
L=μ0N2a2πR-b/2R+b/21rdr=μ0N2a2πlnR+b/2R-b/2=4,87mH.  

(Sándor Nóra Katalin (Pápai Ref. Koll. Gimn., 12. o.t.) dolgozata alapján

 

Megjegyzések. 1. A toroid közelítőleg felfogható egy önmagába ,,visszagörbített'' 2Rπ hosszúságú szolenoidként. (A közelítés annál jobb, minél kisebb a b oldal a középkör R sugarához képest.) Ennek megfelelően Lμ0N2ab2πR=4,80mH.
(Dudás László (Pécs, Széchenyi I. Gimn. és Szki., 12. o.t.)

2. A keresett induktivitás az integrálszámítás precíz összefüggéseinek ismerete nélkül is (kellő pontossággal) meghatározható, ha a fluxust a toroid keresztmetszetének néhány részre bontásával számítjuk ki. Ha például a fenti megoldásban szereplő n-t 2-nek választjuk, az L=12(29+211)mH=4,85mH eredményt kapjuk (ami még 1 százaléknyit sem tér el a ,,pontos'' értéktől!). Ez a közelítés fizikailag egyenértékű azzal, mintha a 10 cm középsugarú és 4 cm vastag toroidot helyettesítettük volna egy-egy 2 cm vastag és 9, illetve 11 cm-es középsugarú párhuzamosan kapcsolt toroiddal, és ezek induktivitását ,,szolenoid-közelítésben'' számoltuk volna ki.
((G. P.)

 
45 dolgozat érkezett. Helyes 16 megoldás. Kicsit hiányos (4 pont) 3, hiányos (1‐3 pont) 19, hibás 4, nem versenyszerű 3 dolgozat.

 
P. 3578. Egy felhő 0,1mm átmérőjű vízcseppjei 10V-ra töltődnek fel. A kicsiny cseppek 2,7mm átmérőjű nagy cseppekké egyesülnek.
Mekkora lesz ezeknek a feszültsége?
((4 pont)Nagy László (1931‐1987) feladata nyomán

 
Megoldás. A vízcseppek közelítőleg gömb alakúnak tekinthetők. A nagy csepp d2/d1=27-szer nagyobb átmérőjű, mint a kisebb cseppek, a térfogatok aránya tehát
V2V1=(d2d1)3=273=19683.
Mivel a nagyobb cseppé egyesülő kicsiny vízcseppek össztérfogata állandónak tekinthető, N=19683 cseppnek kell egyesülnie, hogy a megadott méretű nagy csepp kialakulhasson. Igaz továbbá, hogy a (gömb alakúnak tekintett) cseppek elektromos kapacitása a sugarukkal (átmérőjükkel) arányos, a nagy csepp kapacitása tehát 27-szer nagyobb, mint a kicsiké, elektromos töltése pedig ‐ a töltésmegmaradás miatt ‐ N-szerese egy-egy kis csepp töltésének. Így a nagy csepp feszültsége
U2=Q2C2=273Q127C1=272Q1C1=729U1=7290V.  

(Filep Tamás (Debreceni Ref. Koll. Dóczy Gedeon Gimnáziuma, 9. o.t.)

 

Megjegyzés. A vízcseppek azért tekinthetők jó közelítéssel gömb alakúnak, mert a felületi feszültség (adott térfogat mellett) a lehető legkisebb felszínű testet próbálja kialakítani; ez pedig a gömb. A közegellenállás kicsit eltorzítja a felhő lassan leeső vízcseppeit, ez a hatás a nagyobb (több milliméteres) cseppeknél már számottevő lehet.