Kezdőlap


Feladat:	3577. fizika feladat	Korcsoport: -	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Sándor Nóra Katalin
Füzet:	2003/május, 310 - 311. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Önindukció, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/december: 3577. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A gerjesztési törvény szerint $\sum B Δ s = μ_{0} \sum Δ I$ . Ha a toroid tengelyétől $r$ távolságban a mágneses indukcióvektor nagysága $B (r)$ és a tekercsen átfolyó áram $I$ , akkor

\begin{matrix} 2 r π B (r) = μ_{0} N I, azaz B (r) = \frac{μ_{0} N I}{2 π} \cdot \frac{1}{r} . \end{matrix}

Osszuk fel a toroid keresztmetszetét a

b

oldal mentén kicsiny

Δ r

szélességű sávokra, és egy-egy sávon belül a mágneses mező változását ‐ a sáv keskenysége miatt ‐ ne vegyük számításba. Az

i

-edik kicsiny téglalapon áthaladó mágneses fluxus ebben a közelítésben

\begin{matrix} Δ Φ_{i} \approx \frac{μ_{0} N I a}{2 π} \cdot \frac{Δ r}{r_{i}}, \end{matrix}

a toroidon áthaladó teljes fluxus pedig

\begin{matrix} Φ \approx \frac{μ_{0} N I a}{2 π} \cdot \sum_{i = 1}^{n} \frac{Δ r}{r_{i}}, \end{matrix}

ahol

n = \frac{b}{Δ r}

és

R - \frac{b}{2} < r_{i} < R + \frac{b}{2}

. Az

N

menetes terkercs

L

önindukciós együtthatója és a fluxus közötti kapcsolat

N Φ = L I

, innen a keresett induktivitás

\begin{matrix} L \approx \frac{μ_{0} N^{2} a}{2 π} \cdot \sum_{i = 1}^{n} \frac{Δ r}{r_{i}} . \end{matrix}

A közelítés a felosztás finomításával egyre pontosabbá tehető, és határértékben (amikor az összeg egy integrállal adható meg)

\begin{matrix} L = \frac{μ_{0} N^{2} a}{2 π} \int_{R - b / 2}^{R + b / 2} \frac{1}{r} d r = \frac{μ_{0} N^{2} a}{2 π} ln \frac{R + b / 2}{R - b / 2} = 4, 87 mH. \end{matrix}

() Sándor Nóra Katalin (Pápai Ref. Koll. Gimn., 12. o.t.) dolgozata alapján

Megjegyzések. 1. A toroid közelítőleg felfogható egy önmagába ,,visszagörbített''

2 R π

hosszúságú szolenoidként. (A közelítés annál jobb, minél kisebb a

b

oldal a középkör

R

sugarához képest.) Ennek megfelelően

L \approx \frac{μ_{0} N^{2} a b}{2 π R} = 4, 80 mH

() Dudás László (Pécs, Széchenyi I. Gimn. és Szki., 12. o.t.)

2. A keresett induktivitás az integrálszámítás precíz összefüggéseinek ismerete nélkül is (kellő pontossággal) meghatározható, ha a fluxust a toroid keresztmetszetének néhány részre bontásával számítjuk ki. Ha például a fenti megoldásban szereplő

n

-t 2-nek választjuk, az

L = 12 \cdot (\frac{2}{9} + \frac{2}{11}) mH = 4, 85 mH

eredményt kapjuk (ami még 1 százaléknyit sem tér el a ,,pontos'' értéktől!). Ez a közelítés fizikailag egyenértékű azzal, mintha a 10 cm középsugarú és 4 cm vastag toroidot helyettesítettük volna egy-egy 2 cm vastag és 9, illetve 11 cm-es középsugarú párhuzamosan kapcsolt toroiddal, és ezek induktivitását ,,szolenoid-közelítésben'' számoltuk volna ki.

() (G. P.)

45 dolgozat érkezett. Helyes 16 megoldás. Kicsit hiányos (4 pont) 3, hiányos (1‐3 pont) 19, hibás 4, nem versenyszerű 3 dolgozat.

P. 3578. Egy felhő

0, 1 mm

átmérőjű vízcseppjei

10 V

-ra töltődnek fel. A kicsiny cseppek

2, 7 mm

átmérőjű nagy cseppekké egyesülnek.
Mekkora lesz ezeknek a feszültsége?

((4 pont)) Nagy László (1931‐1987) feladata nyomán

Megoldás. A vízcseppek közelítőleg gömb alakúnak tekinthetők. A nagy csepp

d_{2} / d_{1} = 27

-szer nagyobb átmérőjű, mint a kisebb cseppek, a térfogatok aránya tehát

\begin{matrix} \frac{V_{2}}{V_{1}} = {(\frac{d_{2}}{d_{1}})}^{3} = 27^{3} = 19 683. \end{matrix}

Mivel a nagyobb cseppé egyesülő kicsiny vízcseppek össztérfogata állandónak tekinthető,

N = 19 683

cseppnek kell egyesülnie, hogy a megadott méretű nagy csepp kialakulhasson. Igaz továbbá, hogy a (gömb alakúnak tekintett) cseppek elektromos kapacitása a sugarukkal (átmérőjükkel) arányos, a nagy csepp kapacitása tehát 27-szer nagyobb, mint a kicsiké, elektromos töltése pedig ‐ a töltésmegmaradás miatt ‐

N

-szerese egy-egy kis csepp töltésének. Így a nagy csepp feszültsége

\begin{matrix} U_{2} = \frac{Q_{2}}{C_{2}} = \frac{27^{3} \cdot Q_{1}}{27 \cdot C_{1}} = 27^{2} \cdot \frac{Q_{1}}{C_{1}} = 729 U_{1} = 7290 V. \end{matrix}

() Filep Tamás (Debreceni Ref. Koll. Dóczy Gedeon Gimnáziuma, 9. o.t.)

Megjegyzés. A vízcseppek azért tekinthetők jó közelítéssel gömb alakúnak, mert a felületi feszültség (adott térfogat mellett) a lehető legkisebb felszínű testet próbálja kialakítani; ez pedig a gömb. A közegellenállás kicsit eltorzítja a felhő lassan leeső vízcseppeit, ez a hatás a nagyobb (több milliméteres) cseppeknél már számottevő lehet.