Feladat: 3575. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Koltai Péter ,  Szabó Áron 
Füzet: 2003/április, 246 - 247. oldal  PDF file
Témakör(ök): Tökéletesen rugalmatlan ütközések, Impulzusmegmaradás törvénye, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/december: 3575. fizika feladat

M tömegű szánkón m tömegű kutya áll, amely u relatív sebességgel tud leugrani a szánkóról, majd v sebességgel tud utána szaladni és felugrani rá.
Elhanyagolva a szánkó súrlódását a hóborította vízszintes talajon, határozzuk meg, hogy végül is mekkora sebességre gyorsulhat fel így a szánkó és a kutya! Hányszor ugrik fel közben a kutya a szánkóra?
Legyen M=30kg, m=10kg, u=0,5m/s, v=4m/s.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Azt a kijelentést, hogy a leugró kutya és a szánkó relatív sebessége u, kétféleképpen is érthetjük:
I. értelmezés: A kutya sebessége a szánkó eredeti sebességéhez képest u.
II. értelmezés: A kutya sebessége a szánkó megváltozott sebességéhez képest u.
Tekintsük először az I. értelmezést! Jelöljük a szánkó sebességét a kutya i-edik ugrása után vi-vel; ekkor az n-edik leugrás után v2n-1 a szánkó sebessége, az n-edik felugrás után pedig v2n. A lendületmegmaradás törvénye szerint a leugrásoknál

(M+m)v2n=m(v2n-u)+Mv2n+1,(1)
a kutya felugrásainál pedig
mv+Mv2n+1=(M+m)v2n+2.(2)
Ezekből a szánkó megváltozott sebességeit kifejezve:
v2n+2=αv2n+β,(3)
továbbá
v2n+1=v2n+γ,(4)
ahol
α=Mm+M,β=mm+M(u+v),ésγ=mMu.(5)

A (3) rekurziós képletből és a v0=0 kezdőfeltételből közvetlenül adódik, hogy v2=β, v4=β(1+α), v6=β(1+α+α2), és általában
v2n=β(1+α+α2+...+αn-1)=β1-αn1-α.
Innen (4) alapján
v2n-1=β1-αn-11-α+γ.(6)
A kutya csak akkor ugorhat fel n-edszer is a szánkóra, ha utoléri azt, vagyis ha v>v2n-1. Innen
n<1+log(1-(v-γ)(1-α)β)logα=1+log(uu+vM+mM)logMM+m7,6.
A kutya tehát 7-szer tud a szánkóra felugrani, és a 7. felugrás után a közös sebességük v14=(u+v)[1-(MM+m)7]3,90ms. Ha a kutya még egyszer leugrana, akkor a szánkó sebessége 4,06 m/s-ra nőne.
Tekintsük most a II. értelmezést! A lendületmegmaradás törvénye ekkor (1) helyett
(M+m)v2n=m(v2n+1-u)+Mv2n+1(1')
módon írható fel, amelyből alakilag ugyanolyan összefüggések adódnak, mint az I. értelmezésnél, csupán az (5)-ben szereplő mennyiségek változnak meg:
α=Mm+M,β=mm+M(Mm+Mu+v),ésγ=mM+mu.(5')
A további képletek is változatlanul érvényesek, és a megadott számadatokkal ennél az értelmezésnél az adódik, hogy a kutya 8-szor ugorhat fel a szánkóra, és a végsebesség v16=3,94m/s lesz.
(Koltai Péter (Révkomárom, Selye J. Gimn. 12. o.t.) és
Szabó Áron (Debrecen, Fazekas M. Gimn. 11. o.t.) dolgozata alapján

 
Megjegyzés. Az olyan megoldás, amely nem ad meg általános képletet, hanem végigszámolja a 7 vagy 8 leugrást és felugrást, csak akkor fogadható el teljes értékűnek, ha közben nem végez kerekítést, vagy legalább utal arra, hogy a kerekítések nem befolyásolják a végeredményt. Az ezt elmulasztó, egyéb hibát nem tartalmazó megoldások 4 pontot kaptak.