Kezdőlap


Feladat:	3575. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Koltai Péter , Szabó Áron
Füzet:	2003/április, 246 - 247. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tökéletesen rugalmatlan ütközések, Impulzusmegmaradás törvénye, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/december: 3575. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Azt a kijelentést, hogy a leugró kutya és a szánkó relatív sebessége $u$ , kétféleképpen is érthetjük:
I. értelmezés: A kutya sebessége a szánkó eredeti sebességéhez képest $u$ .
II. értelmezés: A kutya sebessége a szánkó megváltozott sebességéhez képest $u$ .
Tekintsük először az I. értelmezést! Jelöljük a szánkó sebességét a kutya $i$ -edik ugrása után $v_{i}$ -vel; ekkor az $n$ -edik leugrás után $v_{2 n - 1}$ a szánkó sebessége, az $n$ -edik felugrás után pedig $v_{2 n}$ . A lendületmegmaradás törvénye szerint a leugrásoknál

\begin{matrix} (M + m) v_{2 n} = m (v_{2 n} - u) + M v_{2 n + 1}, \end{matrix}

(1)

a kutya felugrásainál pedig

\begin{matrix} m v + M v_{2 n + 1} = (M + m) v_{2 n + 2} . \end{matrix}

(2)

Ezekből a szánkó megváltozott sebességeit kifejezve:

\begin{matrix} v_{2 n + 2} = α \cdot v_{2 n} + β, \end{matrix}

(3)

továbbá

\begin{matrix} v_{2 n + 1} = v_{2 n} + γ, \end{matrix}

(4)

ahol

\begin{matrix} α = \frac{M}{m + M}, β = \frac{m}{m + M} (u + v), és γ = \frac{m}{M} u . \end{matrix}

(5)

A (3) rekurziós képletből és a

v_{0} = 0

kezdőfeltételből közvetlenül adódik, hogy

v_{2} = β

v_{4} = β (1 + α)

v_{6} = β (1 + α + α^{2})

, és általában

\begin{matrix} v_{2 n} = β (1 + α + α^{2} + ... + α^{n - 1}) = β \frac{1 - α^{n}}{1 - α} . \end{matrix}

Innen (4) alapján

\begin{matrix} v_{2 n - 1} = β \frac{1 - α^{n - 1}}{1 - α} + γ . \end{matrix}

(6)

A kutya csak akkor ugorhat fel

n

-edszer is a szánkóra, ha utoléri azt, vagyis ha

v > v_{2 n - 1}

. Innen

\begin{matrix} n < 1 + \frac{log (1 - \frac{(v - γ) (1 - α)}{β})}{log α} = 1 + \frac{log (\frac{u}{u + v} \cdot \frac{M + m}{M})}{log \frac{M}{M + m}} \approx 7, 6. \end{matrix}

A kutya tehát 7-szer tud a szánkóra felugrani, és a 7. felugrás után a közös sebességük

v_{14} = (u + v) [1 - {(\frac{M}{M + m})}^{7}] \approx 3, 90 \frac{m}{s}

. Ha a kutya még egyszer leugrana, akkor a szánkó sebessége 4,06 m/s-ra nőne.
Tekintsük most a II. értelmezést! A lendületmegmaradás törvénye ekkor (1) helyett

\begin{matrix} (M + m) v_{2 n} = m (v_{2 n + 1} - u) + M v_{2 n + 1} \end{matrix}

(1')

módon írható fel, amelyből alakilag ugyanolyan összefüggések adódnak, mint az I. értelmezésnél, csupán az (5)-ben szereplő mennyiségek változnak meg:

\begin{matrix} α = \frac{M}{m + M}, β = \frac{m}{m + M} (\frac{M}{m + M} u + v), és γ = \frac{m}{M + m} u . \end{matrix}

(5')

A további képletek is változatlanul érvényesek, és a megadott számadatokkal ennél az értelmezésnél az adódik, hogy a kutya 8-szor ugorhat fel a szánkóra, és a végsebesség

v_{16} = 3, 94 m/s

lesz.

() Koltai Péter (Révkomárom, Selye J. Gimn. 12. o.t.) és
Szabó Áron (Debrecen, Fazekas M. Gimn. 11. o.t.) dolgozata alapján

Megjegyzés. Az olyan megoldás, amely nem ad meg általános képletet, hanem végigszámolja a 7 vagy 8 leugrást és felugrást, csak akkor fogadható el teljes értékűnek, ha közben nem végez kerekítést, vagy legalább utal arra, hogy a kerekítések nem befolyásolják a végeredményt. Az ezt elmulasztó, egyéb hibát nem tartalmazó megoldások 4 pontot kaptak.