Feladat: 3566. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Rácz Béla András 
Füzet: 2003/március, 183 - 184. oldal  PDF file
Témakör(ök): Hajítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/november: 3566. fizika feladat

Egy 1,5 méter magas faltól 2 méterre, a talaj szintjéről indítva át akarunk dobni a fal felett egy 5kg tömegű súlygolyót.
a) Milyen irányú legyen a 8m/s nagyságú kezdősebesség, hogy a súlygolyó a fal mögött a lehető legmesszebb essen le? Mekkora ez a távolság?
b) Mekkora legkisebb energiabefektetéssel hajítható át az adott helyről a súlygolyó? Milyen irányú ebben az esetben a kezdősebesség?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. a) Ha a golyót v0 kezdősebességgel, a vízszintes x tengelyhez képest α szögben hajítjuk el, pályájának egyenlete:

y=xtgα-g2v02cos2αx2,(1)
és a hajítás távolsága
s=v022gsin2α.(2)
A súlygolyó akkor repül át a d távolságban levő h magas fal felett, ha y(d)h, azaz (1) felhasználásával és némi algebrai átalakítással
tg2α-2v02gd+(1+2v02hgd2)0.(3)
Ennek a másodfokú egyenlőtlenségnek
1,08tgα5,44azaz47,2α79,6
a megoldása. Látható, hogy a megengedett szögek mindegyike nagyobb 45-nál. Ebben a tartományban (2) szerint s(α) monoton csökken, tehát a legnagyobb hajítási távolság a legkisebb szöghöz, α=47,2-hoz tartozik, és az elérhető távolság nagysága 650 cm (alig 2 cm-rel kevesebb, mint amekkora a fal nélküli maximum lenne).
b) A befektetett energia E=12mv02, elég tehát megnézni, hogy melyik az a legkisebb v0, amelyre a (3) egyenlőtlenségnek ‐ alkalmas α esetén ‐ van megoldása. A megoldás létezésének feltétele az, hogy a diszkrimináns nemnegatív:
(v02gd)21+2v02hgd2,
azaz
v0g(h+d2+h2)=6,26m/s.  
A megfelelő energiára
E=12mv02>98,1J,  
a határesetnek megfelelő szögre pedig
tgα=hd+1+(hd)2=2,
azaz α=63,4 adódik.
(Rácz Béla András (Főv. Fazekas M. Gyak. Gimn., 11. o.t.) dolgozata alapján
 

Megjegyzés. Meglepő, hogy a megoldásban szereplő pályák nem szimmetrikusak a falra, a golyó nem vízszintesen repül át a fal felett. Sokan ‐ mint a részletes számításból látszik, indokolatlanul ‐ eleve feltételezték ezt a szimmetriát.
Ha minél messzebbre szeretnénk dobni egy akadályon át (adott kezdősebességgel) a súlyt, akkor a felszálló ágban kell áthaladjon az akadály felett; ha viszont a legkisebb kezdősebességgel (energiával) akarjuk átjuttatni az akadályon, akkor a leszálló ágban kell átrepüljön felette.
((W. F.)