Feladat: 3532. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Filep Tamás 
Füzet: 2003/január, 49 - 50. oldal  PDF file
Témakör(ök): Pontrendszerek mozgásegyenletei, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/május: 3532. fizika feladat

Az ábrán látható nyújthatatlan fonál felső végét a mennyezethez rögzítjük, az alsó végére pedig egy m tömegű testet kötünk. A test alsó részéhez egy rugót erősítünk, amelyen 2m tömegű test lóg. A rendszer egyensúlyban van. A rugó megnyúlása 30cm. Égessük el a fonalat!
 

a) Mekkora az egyes testek gyorsulása közvetlenül a fonál elégetése után?
b) Mennyi idő múlva lesz a rugó először nyújtatlan állapotban, és mekkora a testek sebessége ebben a pillanatban?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. a) Kezdetben a rugót F=2mg erő feszíti. Közvetlenül a fonal elégetése után a rugó megnyúlása még a korábbi Δx=30 cm, tehát a rugót feszítő erő is a korábbi 2mg. A felső testre ekkor összesen 3mg erő hat, az alsó testre ható erők eredője pedig nulla. Ennek megfelelően a felső test kezdeti gyorsulása a1(0)=3g, az alsóé pedig a2(0)=0.
b) A fonál elégetése után a két testből és a rugóból álló rendszer tömegközéppontja szabadon (g gyorsulással) esik, a két test pedig a tömegközépponthoz képest azonos frekvenciájú, de különböző amplitúdójú harmonikus rezgőmozgást végez. A tömegközépponttal együtt szabadon eső koordináta-rendszerből nézve a tömegközéppont áll, tehát a rugónak a tömegközépponttal egybeeső pontját ‐ amely az alsó egyharmadánál található ‐ akár rögzítettnek is tekinthetjük.
A rugóállandó kifejezhető a kezdeti megnyúlással: D=2mg/Δx. A felső, m tömegű test mozgása úgy fogható fel, mintha csak az egész rugó 2/3 részének megfelelő hosszúságú, tehát D1=32D rugóállandójú, egyik végén rögzített rugó fejtene ki rá erőt. Így a rezgésideje
T=2πmD1=2π2m3D=2πΔx3g=0,63s.  
Hasonló módon kapjuk, hogy a másik, 2m tömegű test rezgésideje egy D2=3D rugóállandójú, egyik végén rögzítettnek tekinthető ,,harmad rugó'' másik végén
2π2mD2=2π2m3D,
ez valóban megegyezik a fenti T rezgésidővel.
A rugó az indítás után először T1=T/4=0,16 s idő múlva lesz nyújtatlan állapotban. Ekkor a tömegközéppont sebessége függőlegesen lefelé
vTKP=gT1=π2gΔx3=1,56m/s.  
A tömegközépponthoz képest mindkét test ω=3g/Δx körfrekvenciájú harmonikus rezgőmozgást végez, a felső A1=23Δx, az alsó pedig A2=13Δx amplitúdóval. Eszerint a negyed rezgésnek megfelelő T1 pillanatban a felső test sebessége
v1=A1ω=233gΔx=1,98m/s  
lefelé, az alsóé pedig
v2=A2ω=133gΔx=0,99m/s  
felfelé. A két test tehát a mennyezethez képest
u1=vTKP+v1=3,54m/s,  
illetve
u2=vTKP-v2=0,57m/s  
sebességgel mozog, mindketten függőlegesen lefelé.
(Filep Tamás (Debrecen, Ref. Koll. Dóczy Gedeon Gimn., 8. o.t.)