Feladat:	3532. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Filep Tamás
Füzet:	2003/január, 49 - 50. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/május: 3532. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. $a)$ Kezdetben a rugót $F=2mg$ erő feszíti. Közvetlenül a fonal elégetése után a rugó megnyúlása még a korábbi $\Delta x=30$ cm, tehát a rugót feszítő erő is a korábbi $2mg$. A felső testre ekkor összesen $3mg$ erő hat, az alsó testre ható erők eredője pedig nulla. Ennek megfelelően a felső test kezdeti gyorsulása $a_1\left(0\right)=3g$, az alsóé pedig $a_2\left(0\right)=0$. $b)$ A fonál elégetése után a két testből és a rugóból álló rendszer tömegközéppontja szabadon ($g$ gyorsulással) esik, a két test pedig a tömegközépponthoz képest azonos frekvenciájú, de különböző amplitúdójú harmonikus rezgőmozgást végez. A tömegközépponttal együtt szabadon eső koordináta-rendszerből nézve a tömegközéppont áll, tehát a rugónak a tömegközépponttal egybeeső pontját ‐ amely az alsó egyharmadánál található ‐ akár rögzítettnek is tekinthetjük. A rugóállandó kifejezhető a kezdeti megnyúlással: $D=2mg/\Delta x$. A felső, $m$ tömegű test mozgása úgy fogható fel, mintha csak az egész rugó $2/3$ részének megfelelő hosszúságú, tehát $D_1=\frac{3}{2}D$ rugóállandójú, egyik végén rögzített rugó fejtene ki rá erőt. Így a rezgésideje $\begin{array}{c}{\displaystyle T=2\pi \sqrt[]{\frac{m}{D_1}}=2\pi \sqrt[]{\frac{2m}{3D}}=2\pi \sqrt[]{\frac{\Delta x}{3g}}=0\mathrm{,}63\text{s. }}\end{array}$ Hasonló módon kapjuk, hogy a másik, $2m$ tömegű test rezgésideje egy $D_2=3D$ rugóállandójú, egyik végén rögzítettnek tekinthető ,,harmad rugó'' másik végén $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\pi \sqrt[]{\frac{2m}{D_2}}=2\pi \sqrt[]{\frac{2m}{3D}}\mathrm{,}}\end{array}$ ez valóban megegyezik a fenti $T$ rezgésidővel. A rugó az indítás után először $T_1=T/4=0\mathrm{,}16$ s idő múlva lesz nyújtatlan állapotban. Ekkor a tömegközéppont sebessége függőlegesen lefelé $\begin{array}{c}{\displaystyle v_{\text{TKP}}=g{T}_1=\frac{\pi }{2}\sqrt[]{\frac{g\Delta x}{3}}=1\mathrm{,}56\text{m/s. }}\end{array}$ A tömegközépponthoz képest mindkét test $\omega =\sqrt[]{3g/\Delta x}$ körfrekvenciájú harmonikus rezgőmozgást végez, a felső $A_1=\frac{2}{3}\Delta x$, az alsó pedig $A_2=\frac{1}{3}\Delta x$ amplitúdóval. Eszerint a negyed rezgésnek megfelelő $T_1$ pillanatban a felső test sebessége $\begin{array}{c}{\displaystyle v_1=A_1\omega =\frac{2}{3}\sqrt[]{3g\cdot \Delta x}=1\mathrm{,}98\text{m/s }}\end{array}$ lefelé, az alsóé pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle v_2=A_2\omega =\frac{1}{3}\sqrt[]{3g\cdot \Delta x}=0\mathrm{,}99\text{m/s }}\end{array}$ felfelé. A két test tehát a mennyezethez képest $\begin{array}{c}{\displaystyle u_1=v_{\text{TKP}}+v_1=3\mathrm{,}54\text{m/s, }}\end{array}$ illetve $\begin{array}{c}{\displaystyle u_2=v_{\text{TKP}}-v_2=0\mathrm{,}57\text{m/s }}\end{array}$ sebességgel mozog, mindketten függőlegesen lefelé. () Filep Tamás (Debrecen, Ref. Koll. Dóczy Gedeon Gimn., 8. o.t.)