Feladat: B.3619 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bagócsi Szilvia ,  Bérczi Kristóf ,  Farkas Balázs ,  Fehér Gábor ,  Filus Tamás ,  Komjáthy Júlia ,  Kormányos Balázs ,  Mészáros Gábor ,  Mészáros Tamás ,  Pálinkás Csaba ,  Pongrácz András ,  Sándor Ágnes ,  Szalai Attila 
Füzet: 2003/december, 552 - 553. oldal  PDF file
Témakör(ök): Tetraéderek, Térfogat, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/február: B.3619

Tekintsünk három olyan síkot, amelyek egy egységnyi térfogatú tetraéder egy-egy lapjával párhuzamosak és felezik a tetraéder térfogatát. Mekkora annak a tetraédernek a térfogata, amelyet ez a három sík és a tetraéder negyedik lapja határol?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. Ismert, hogy ha két tetraéder lapjai párhuzamosak, akkor a tetraéderek hasonlók egymáshoz (1. ábra). Hasonló tetraéderek térfogatának aránya pedig megegyezik megfelelő oldalaik arányának köbével.
 
 

1. ábra
 

Tekintsük az egységnyi térfogatú T tetraédernek azt a lapját, mellyel nem húztunk párhuzamos síkot. Ha ez a lap ABC, akkor a T térfogatát felező, annak lapjaival párhuzamos síkok ABC-t rendre a DE, FG, HI szakaszokban metszik. Ezek a szakaszok (a síkok párhuzamossága miatt) párhuzamosak az ABC háromszög megfelelő oldalaival, hosszukra pedig (a térfogat felezése miatt) teljesül, hogy
AB:DE=BC:FG=CA:HI=23.

 
 

2. ábra
 

Jelöljük a DE, FG, HI szakaszok metszéspontjai által meghatározott háromszög csúcsait a 2. ábrán látható módon J, K, L-lel. A JKL háromszög a feladatban szereplő új tetraéder egyik lapja. Az AFED és az IBED négyszögek paralelogrammák, hiszen például AF=123AB=ED. Így
AI=FB=AB-DE=AB(1-123).
Az AIJD és az FBEK négyszögek is paralelogrammák, azért
JK=DE-(DJ+KE)=DE-(AI+FB)==AB(123-2(1-123))=3-22323AB.
Mivel az új tetraéder JK élének T AB éle felel meg, a két hasonló tetraéder térfogatának aránya
(3-22323)3:1.

Tehát a feladatban szereplő új tetraéder térfogata
(3-22323)3=112-2723+18430,0554
térfogategység.
(Mészáros Gábor (Budapest, ELTE Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., 9. évf.)
dolgozatának felhasználásával