Feladat:	B.3619	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bagócsi Szilvia ,  Bérczi Kristóf ,  Farkas Balázs ,  Fehér Gábor ,  Filus Tamás ,  Komjáthy Júlia ,  Kormányos Balázs ,  Mészáros Gábor ,  Mészáros Tamás ,  Pálinkás Csaba ,  Pongrácz András ,  Sándor Ágnes ,  Szalai Attila
Füzet:	2003/december, 552 - 553. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Tetraéderek, Térfogat, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/február: B.3619

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Ismert, hogy ha két tetraéder lapjai párhuzamosak, akkor a tetraéderek hasonlók egymáshoz (1. ábra). Hasonló tetraéderek térfogatának aránya pedig megegyezik megfelelő oldalaik arányának köbével.     1. ábra   Tekintsük az egységnyi térfogatú $\text{T}$ tetraédernek azt a lapját, mellyel nem húztunk párhuzamos síkot. Ha ez a lap $ABC$, akkor a $\text{T}$ térfogatát felező, annak lapjaival párhuzamos síkok $ABC$-t rendre a $DE$, $FG$, $HI$ szakaszokban metszik. Ezek a szakaszok (a síkok párhuzamossága miatt) párhuzamosak az $ABC$ háromszög megfelelő oldalaival, hosszukra pedig (a térfogat felezése miatt) teljesül, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle AB:DE=BC:FG=CA:HI=\sqrt[3]{2}\mathrm{.}}\end{array}$     2. ábra   Jelöljük a $DE$, $FG$, $HI$ szakaszok metszéspontjai által meghatározott háromszög csúcsait a 2. ábrán látható módon $J$, $K$, $L$-lel. A $JKL$ háromszög a feladatban szereplő új tetraéder egyik lapja. Az $AFED$ és az $IBED$ négyszögek paralelogrammák, hiszen például $AF=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}AB=ED$. Így $\begin{array}{c}{\displaystyle AI=FB=AB-DE=AB\left(1-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Az $AIJD$ és az $FBEK$ négyszögek is paralelogrammák, azért $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle JK}& {\displaystyle =DE-\left(DJ+KE\right)=DE-\left(AI+FB\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =AB\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}-2\left(1-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)\right)=\frac{3-2\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}}\cdot AB\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Mivel az új tetraéder $JK$ élének $\text{T}$ $AB$ éle felel meg, a két hasonló tetraéder térfogatának aránya $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\frac{3-2\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}}\right)}^3:1.}\end{array}$ Tehát a feladatban szereplő új tetraéder térfogata $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\frac{3-2\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}}\right)}^3=\frac{11}{2}-27\sqrt[3]{2}+18\sqrt[3]{4}\approx 0\mathrm{,}0554}\end{array}$ térfogategység. () Mészáros Gábor (Budapest, ELTE Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., 9. évf.) dolgozatának felhasználásával