Feladat: B.3601 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Backhausz Ágnes ,  Bartha Ferenc ,  Bednay Dezső ,  Bérczi Kristóf ,  Birkus Róbert ,  Bitai Tamás ,  Farkas Balázs ,  Gáthy Lajos ,  Juhász Máté Lehel ,  Kiss Gábor ,  Kiss-Tóth Christián ,  Komáromy Dani ,  Komjáthy Júlia ,  Medvey Ádám ,  Rácz Judit ,  Reiss Tibor ,  Rendes Gábor ,  Simon Balázs ,  Szabó Botond ,  Szalai Attila 
Füzet: 2003/november, 483 - 485. oldal  PDF file
Témakör(ök): Klasszikus valószínűség, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/december: B.3601

Anna és Zsófi felváltva dob egy dobókockával, és a dobott számot mindig hozzáadják az eddig dobott számok összegéhez. Az nyer, akinek a dobása után először lesz az összeg 4-gyel osztható. Ha Anna kezd, mennyi a valószínűsége, hogy nyer?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Bármi is egy adott pillanatban az addig dobott számok összege ‐ hacsak nem 4-gyel oszható, hiszen akkor a játék befejeződik ‐, a következő játékos tud olyan számot dobni, amellyel nyer: ha az összeg 4k+1 alakú, akkor 3-at, ha 4k+2 alakú, akkor 2-t vagy 6-ot, ha pedig 4k+3 alakú, akkor 1-et vagy 5-öt dobva győz.
Így minden dobáskor legalább 16 az esélye annak, hogy a következő dobással a játék véget ér. Legfeljebb (56)n tehát annak a valószínűsége, hogy a játék n dobás után még nem ér véget, ez az érték pedig tart a nullához. A játék tehát 1 valószínűséggel véget ér.
Tegyük fel, hogy a játék egy adott állásában a dobott számok összege 4k+r alakú (0r3). Ha Pr jelöli annak a valószínűségét, hogy a soronkövetkező játékos ‐ aki éppúgy lehet Anna, mint Zsófi, hívjuk őt X-nek ‐ ezután valamikor győz, akkor ez a valószínűség nyilván csak az r maradéktól függ. Másfelől láttuk, hogy a játék véget ér, éppen ezért ebből a helyzetből a másik játékos, aki X után jön, 1-Pr valószínűséggel nyer. Itt értelemszerűen P0=0, hiszen X már veszített. Ha pedig X dobása nyomán 4k+r' lett a dobott számok összege, akkor most nem X következik, így a fentiek szerint 1-Pr' annak a valószínűsége, hogy ő nyer. A továbbiakban ezt az egyszerű észrevételt alkalmazzuk a Pr valószínűségek felírásakor.
Vizsgáljuk meg a nemnulla maradékokat; legyen először r=1, és nézzük meg, hogy a lehetséges dobásai nyomán kialakult helyzetben X milyen valószínűséggel nyeri meg a játékot. Ha 3-at dob ‐ ennek a valószínűsége 16 ‐ akkor (1-P0)=1 valószínűséggel nyer. Ha 1-et vagy 5-öt ‐ ennek az esélye 13 ‐ akkor 4k+2 alakú számra jutva a fentiek szerint (1-P2) valószínűséggel nyer. Hasonlóan kapjuk, hogy ha 2-t vagy 6-ot dob ‐ ennek az esélye is 13 ‐ akkor (1-P3), ha pedig 4-et dob, akkor (1-P1) valószínűséggel nyer. Eszerint:

P1=16(1-P0)+13(1-P2)+13(1-P3)+16(1-P1)(1)
Hasonlóan írhatók föl a P2 és a P3 valószínűségek:
P2=13(1-P0)+13(1-P3)+16(1-P1)+16(1-P2),illetve(2)P3=13(1-P0)+13(1-P1)+16(1-P2)+16(1-P3).(3)
A három egyenletet rendezve az alábbi egyenletrendszert kapjuk:
7P1+2P2+2P3=6.(*)P1+7P2+2P3=6.(*)2P1+P2+7P3=6.(*)

Az egyenletrendszert megoldva kapjuk, hogy P1=5099, P2=6099, P3=6299.
Térjünk rá ezután a két szereplő, Anna és Zsófi játékára. Ha elsőre Anna 4k+r alakú számot dob, akkor a fentiek szerint 1-P0=1 valószínűséggel győz, ha r=0; és 1-Pr valószínűséggel, ha r=1,2,3. Mivel pedig 16 valószínűséggel dob 0 vagy 3 maradékot és 13 valószínűséggel 1-et (1 és 5), illetve 2-t (2 és 6), azért annak a valószínűsége, hogy kezdő játékosként Anna győz:
16(1-P0)+13(1-P1)+13(1-P2)+16(1-P3)=16+134999+133999+163799=5299,
valamivel nagyobb, mint 12.
 
Megjegyzés. Sokan elmulasztották annak igazolását, hogy a játék 1 valószínűséggel véget ér, így pedig a fenti okoskodás hiányos.