Kezdőlap


Feladat:	B.3537	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hegyi Gábor
Füzet:	2003/október, 414 - 415. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Magasságvonal, Szögfelező egyenes, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Beírt kör, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/március: B.3537

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Számítsuk ki a szakaszok hosszát a háromszög oldalainak a segítségével.

Jelölje a háromszög oldalait a szokásos módon

a

b

és

c

. Ha

a = c

, akkor a

D

E

F

és

H

pontok egybeesnek, ebben az esetben az állítás nyilván igaz. Egyébként pedig az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy

a > c

; ekkor a

C

F

D

E

H

pontok ebben a sorrendben követik egymást a

C A

félegyenesen. A szögfelező-tétel szerint

C D = \frac{a}{a + c} b

. Így

\begin{matrix} F D = C D - C F = \frac{a}{a + c} b - \frac{b}{2} = \frac{a - c}{2 (a + c)} b . \end{matrix}

Mivel a beírt kör az

E

pontban érinti a

b

oldalt,

\begin{matrix} E F = C E - C F = (s - c) - \frac{b}{2} = \frac{a + b - c}{2} - \frac{b}{2} = \frac{a - c}{2} . \end{matrix}

Végül írjuk fel a Pitagorasz-tételt a

C H B

és a

B H A

derékszögű háromszögekben; ebből

a^{2} - C H^{2} = c^{2} - {(b - C H)}^{2}

. (Ha az

A

-nál tompaszög van, akkor

b - C H

negatív, de az egyenlőség akkor is fennáll.) Négyzetre emelve és rendezve a következőt kapjuk:

\begin{matrix} C H = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 b}, ezért F H = C H - C F = \frac{a^{2} - c^{2}}{2 b} . \end{matrix}

Ezután már könnyen ellenőrizhetjük, hogy az

E F

szakasz valóban az

F D

és

F H

szakaszok mértani közepe:

\begin{matrix} F D \cdot F H = \frac{a - c}{2 (a + c)} b \frac{a^{2} - c^{2}}{2 b} = \frac{a - c}{2 (a + c)} b \frac{(a - c) (a + c)}{2 b} = {(\frac{a - c}{2})}^{2} = E F^{2} . \end{matrix}

() Hegyi Gábor (Budapest, Szt. István Gimn., 10. oszt.)