A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Számítsuk ki a szakaszok hosszát a háromszög oldalainak a segítségével.
Jelölje a háromszög oldalait a szokásos módon , és . Ha , akkor a , , és pontok egybeesnek, ebben az esetben az állítás nyilván igaz. Egyébként pedig az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy ; ekkor a , , , , pontok ebben a sorrendben követik egymást a félegyenesen. A szögfelező-tétel szerint . Így | | Mivel a beírt kör az pontban érinti a oldalt, | |
Végül írjuk fel a Pitagorasz-tételt a és a derékszögű háromszögekben; ebből . (Ha az -nál tompaszög van, akkor negatív, de az egyenlőség akkor is fennáll.) Négyzetre emelve és rendezve a következőt kapjuk: | | Ezután már könnyen ellenőrizhetjük, hogy az szakasz valóban az és szakaszok mértani közepe: | | () Hegyi Gábor (Budapest, Szt. István Gimn., 10. oszt.) |
|
|