Feladat: B.3537 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Hegyi Gábor 
Füzet: 2003/október, 414 - 415. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai bizonyítások, Magasságvonal, Szögfelező egyenes, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Beírt kör, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/március: B.3537

Az ABC háromszög AC oldala a B-ből induló szögfelezőt D-ben, a B-ből induló magasságot H-ban metszi, a beírt kört pedig E-ben érinti. Az AC felezőpontja F. Bizonyítsuk be, hogy az EF szakasz az FD és FH szakaszok mértani közepe.
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Számítsuk ki a szakaszok hosszát a háromszög oldalainak a segítségével.

 
 

Jelölje a háromszög oldalait a szokásos módon a, b és c. Ha a=c, akkor a D, E, F és H pontok egybeesnek, ebben az esetben az állítás nyilván igaz. Egyébként pedig az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy a>c; ekkor a C, F, D, E, H pontok ebben a sorrendben követik egymást a CA félegyenesen. A szögfelező-tétel szerint CD=aa+cb. Így
FD=CD-CF=aa+cb-b2=a-c2(a+c)b.
Mivel a beírt kör az E pontban érinti a b oldalt,
EF=CE-CF=(s-c)-b2=a+b-c2-b2=a-c2.

Végül írjuk fel a Pitagorasz-tételt a CHB és a BHA derékszögű háromszögekben; ebből a2-CH2=c2-(b-CH)2. (Ha az A-nál tompaszög van, akkor b-CH negatív, de az egyenlőség akkor is fennáll.) Négyzetre emelve és rendezve a következőt kapjuk:
CH=a2+b2-c22b,ezértFH=CH-CF=a2-c22b.
Ezután már könnyen ellenőrizhetjük, hogy az EF szakasz valóban az FD és FH szakaszok mértani közepe:
FDFH=a-c2(a+c)ba2-c22b=a-c2(a+c)b(a-c)(a+c)2b=(a-c2)2=EF2.
(Hegyi Gábor (Budapest, Szt. István Gimn., 10. oszt.)