Feladat: C.697 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Kocsis István 
Füzet: 2003/október, 407 - 408. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometriával, Két pont távolsága, szakasz hosszúsága, Koordináta-geometria, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/december: C.697

Az ABCD négyszögben AB=1, BC=2, CD=3, ABC=120, végül BCD=90. Mekkora az AD oldal hosszának pontos értéke?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Helyezzük el az ABCD négyszöget a derékszögű koordinátarendszerben úgy, hogy a CD szakasz az x tengelyen legyen, a C pont pedig az origóban. Ekkor a B és D pontok koordinátái: B(0;2), D(3;0). Az A pont vetülete az y tengelyen A'. Mivel ABA'=60, az ABA' háromszögből AA'=sin60=32, BA'=cos60=12 és így az A pont koordinátái: A(32;52). Az AD szakasz hossza:

AD=(32-3)2+(52)2=284=7.
(Kocsis István (Miskolc, Földes F. Gimn., 11. évf.)

 
 

II. megoldás. Az ABC háromszögből a koszinusztétel alkalmazásával meghatározhatjuk az AC átló hosszát:
AC2=12+22-212cos120.
Innen AC=7. A BCD derékszögű háromszögben DB2=22+(3)2, innen DB=7. Jelölje a BCA szöget α. A CAB háromszögben ugyancsak a koszinusztétel alkalmazásával kapjuk, hogy
cosα=(7)2+22-1227=5714.
Végül az ADC háromszögből, ugyancsak a koszinusztétel alkalmazásával, megkapjuk a keresett AD oldal hosszát:
AD2=(7)2+(3)2-273cos(90-α).(1)
Tudjuk, hogy cos(90-α)=sinα, a négyzetes összefüggésből cosα ismeretében kiszámíthatjuk sinα értékét, felhasználva, hogy α<90:
sinα=1-cos2α=1-(5714)2=21196=3714,
ezt helyettesítve (1)-be, rendezés után kapjuk, hogy AD=7.
III. megoldás. Hosszabbítsuk meg az AB és a CD oldalakat, az így kapott félegyenesek metszéspontja legyen E.
 
 

A BCE derékszögű háromszögben CBE=60, így BEC=30, BE=2BC=4, CE=3BC=23. Az AEB háromszögben AE=5, DE=33, AED=30. A koszinusztételt fölírva
AD2=AE2+DE2-2AEDEcosAED=25+27-30332=7,
tehát AD=7.