Kezdőlap


Feladat:	C.697	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Kocsis István
Füzet:	2003/október, 407 - 408. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometriával, Két pont távolsága, szakasz hosszúsága, Koordináta-geometria, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/december: C.697

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Helyezzük el az $A B C D$ négyszöget a derékszögű koordinátarendszerben úgy, hogy a $C D$ szakasz az $x$ tengelyen legyen, a $C$ pont pedig az origóban. Ekkor a $B$ és $D$ pontok koordinátái: $B (0; 2)$ , $D (\sqrt[]{3}; 0)$ . Az $A$ pont vetülete az $y$ tengelyen $A'$ . Mivel $A B A' ∢ = 60^{\circ}$ , az $A B A'$ háromszögből $A A' = sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt[]{3}}{2}$ , $B A' = cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ és így az $A$ pont koordinátái: $A (\frac{\sqrt[]{3}}{2}; \frac{5}{2})$ . Az $A D$ szakasz hossza:

\begin{matrix} A D = \sqrt[]{{(\frac{\sqrt[]{3}}{2} - \sqrt[]{3})}^{2} + {(\frac{5}{2})}^{2}} = \sqrt[]{\frac{28}{4}} = \sqrt[]{7} . \end{matrix}

() Kocsis István (Miskolc, Földes F. Gimn., 11. évf.)

II. megoldás. Az

A B C

háromszögből a koszinusztétel alkalmazásával meghatározhatjuk az

A C

átló hosszát:

\begin{matrix} A C^{2} = 1^{2} + 2^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot cos 120^{\circ} . \end{matrix}

Innen

A C = \sqrt[]{7}

. A

B C D

derékszögű háromszögben

D B^{2} = 2^{2} + {(\sqrt[]{3})}^{2}

, innen

D B = \sqrt[]{7}

. Jelölje a

B C A

szöget

α

. A

C A B

háromszögben ugyancsak a koszinusztétel alkalmazásával kapjuk, hogy

\begin{matrix} cos α = \frac{{(\sqrt[]{7})}^{2} + 2^{2} - 1}{2 \cdot 2 \sqrt[]{7}} = \frac{5 \sqrt[]{7}}{14} . \end{matrix}

Végül az

A D C

háromszögből, ugyancsak a koszinusztétel alkalmazásával, megkapjuk a keresett

A D

oldal hosszát:

\begin{matrix} A D^{2} = {(\sqrt[]{7})}^{2} + {(\sqrt[]{3})}^{2} - 2 \cdot \sqrt[]{7} \cdot \sqrt[]{3} \cdot cos (90^{\circ} - α) . \end{matrix}

(1)

Tudjuk, hogy

cos (90^{\circ} - α) = sin α

, a négyzetes összefüggésből

cos α

ismeretében kiszámíthatjuk

sin α

értékét, felhasználva, hogy

α < 90^{\circ}

\begin{matrix} sin α = \sqrt[]{1 - cos^{2} α} = \sqrt[]{1 - {(\frac{5 \sqrt[]{7}}{14})}^{2}} = \sqrt[]{\frac{21}{196}} = \frac{\sqrt[]{3} \cdot \sqrt[]{7}}{14}, \end{matrix}

ezt helyettesítve (1)-be, rendezés után kapjuk, hogy

A D = \sqrt[]{7}

.
III. megoldás. Hosszabbítsuk meg az

A B

és a

C D

oldalakat, az így kapott félegyenesek metszéspontja legyen

E

B C E

derékszögű háromszögben

C B E ∢ = 60^{\circ}

, így

B E C ∢ = 30^{\circ}

B E = 2 B C = 4

C E = \sqrt[]{3} B C = 2 \sqrt[]{3}

. Az

A E B

háromszögben

A E = 5

D E = 3 \sqrt[]{3}

A E D ∢ = 30^{\circ}

. A koszinusztételt fölírva

\begin{matrix} A D^{2} = A E^{2} + D E^{2} - 2 A E \cdot D E \cdot cos A E D ∢ = 25 + 27 - 30 \sqrt[]{3} \cdot \frac{\sqrt[]{3}}{2} = 7, \end{matrix}

tehát

A D = \sqrt[]{7}