Kezdőlap


Feladat:	A.306	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bergmann Gábor , Bóka Gergely , Kórus Péter , Kunszenti-Kovács Dávid , Pongrácz András , Rácz Béla András , Richter Péter , Salát Máté
Füzet:	2003/május, 293 - 294. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Magasságvonal, Beírt kör, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/december: A.306

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen az $A$ -ból és $B$ -ből induló magasságok talppontja $R$ , illetve $S$ , az $O P$ sugár és az $A R$ magasság metszéspontja $U$ , az $O Q$ sugár és a $B S$ magasság metszéspontja pedig $V$ . Az $A C R$ és $B C S$ derékszögű háromszögekből $C A R ∢ = C B S ∢ = 90^{\circ} - A C B ∢$ .
Az $O Q P$ háromszög egyenlő szárú, $O P$ és $O Q$ szárai párhuzamosak a $B S$ , illetve $A R$ magasságokkal, ezért $P M U ∢ = P Q O ∢ = Q P O ∢ = Q M V ∢$ .

A P U

és

B Q V

háromszögek hasonlók, mivel a megfelelő szögeik megegyeznek, az

U M P

és

V M Q

háromszögek pedig egyenlő szárúak, így

\begin{matrix} \frac{A U}{U M} = \frac{A U}{U P} = \frac{B V}{V Q} = \frac{B V}{V M}, \end{matrix}

vagyis az

U

és

V

pontok ugyanolyan arányban osztják az

A M

, illetve

B M

szakaszokat. Ebből a párhuzamos szelők tételének megfordítása alapján következik, hogy az

U V

szakasz párhuzamos az

A B

oldallal.
Az

O V M U

négyszög paralelogramma, mert szemközti oldalai párhuzamosak. Az

M O

egyenes, ami a paralelogramma átlója, felezi a másik,

U V

átlót. Mivel az

U V

átló párhuzamos az

A B

oldallal, azért az

M O

egyenes az

A B

oldalt is ugyanilyen arányban osztja, vagyis felezi.

() Richter Péter (Budapest, Eötvös József Gimnázium, 10. o.t)