Feladat: A.306 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bergmann Gábor ,  Bóka Gergely ,  Kórus Péter ,  Kunszenti-Kovács Dávid ,  Pongrácz András ,  Rácz Béla András ,  Richter Péter ,  Salát Máté 
Füzet: 2003/május, 293 - 294. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai bizonyítások, Magasságvonal, Beírt kör, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/december: A.306

Az ABC háromszög magasságpontja M, beírt köre az AC és BC oldalakat a P, illetve Q pontokban érinti, középpontja O. Bizonyítsuk be, hogy ha M a PQ egyenesre esik, akkor az MO egyenes átmegy az AB oldal felezőpontján.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen az A-ból és B-ből induló magasságok talppontja R, illetve S, az OP sugár és az AR magasság metszéspontja U, az OQ sugár és a BS magasság metszéspontja pedig V. Az ACR és BCS derékszögű háromszögekből CAR=CBS=90-ACB.
Az OQP háromszög egyenlő szárú, OP és OQ szárai párhuzamosak a BS, illetve AR magasságokkal, ezért PMU=PQO=QPO=QMV.

 
 

Az APU és BQV háromszögek hasonlók, mivel a megfelelő szögeik megegyeznek, az UMP és VMQ háromszögek pedig egyenlő szárúak, így
AUUM=AUUP=BVVQ=BVVM,
vagyis az U és V pontok ugyanolyan arányban osztják az AM, illetve BM szakaszokat. Ebből a párhuzamos szelők tételének megfordítása alapján következik, hogy az UV szakasz párhuzamos az AB oldallal.
Az OVMU négyszög paralelogramma, mert szemközti oldalai párhuzamosak. Az MO egyenes, ami a paralelogramma átlója, felezi a másik, UV átlót. Mivel az UV átló párhuzamos az AB oldallal, azért az MO egyenes az AB oldalt is ugyanilyen arányban osztja, vagyis felezi.
(Richter Péter (Budapest, Eötvös József Gimnázium, 10. o.t)