Feladat: B.3593 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csorba János 
Füzet: 2003/május, 288 - 289. oldal  PDF file
Témakör(ök): Prímszámok, Oszthatósági feladatok, Számtani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/december: B.3593

Van-e olyan csupa különböző pozitív egész számból álló számtani sorozat, amelynek egyik tagja sem osztható 1-nél nagyobb négyzetszámmal?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A számtani sorozat első elemét jelölje a (egész), különbségét d0. Tekintsünk egy olyan p prímszámot, amely nem osztója a sorozat differenciájának, d-nek. Ekkor az egymást követő a,a+d,a+2d,a+3d,...,a+(p2-1)d számok (p2 darab) p2-tel osztva mind különböző maradékot adnak. Legyen ugyanis 0l<kp2-1, r=(a+kd)-(a+ld)=(k-l)d. Mivel pd, így a szorzat csak úgy lehetne p2-tel osztható, ha p2 osztaná (k-l)-et. Ez a pozitív különbség azonban kisebb p2-nél, így nem lehet osztható vele. A p2-féle különböző maradék között valamelyik 0 kell legyen, tehát a sorozatnak az a tagja osztható p2-tel.

(Több megoldás alapján

 
II. megoldás. Azt kell megvizsgálnunk, hogy az a+nd számnak lehet-e négyzetszám osztója. Azt állítjuk, hogy az n=a(d+2) választás megfelelő.
a+a(d+2)d=a[1+d2+2d]=a(d+1)2.

(Csorba János (Győr, Apor Vilmos Gimn., 9. o.t.) dolgozatának felhasznásával