Feladat: B.3529 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Balogh János ,  Baráth Géza ,  Bartha Ágnes ,  Beke Krisztina ,  Bérczi Kristóf ,  Birkner Tamás ,  Bóka Gergely ,  Boros Balázs ,  Dénes Ferenc ,  Eckert Bernadett ,  Fehér Gábor ,  Filus Tamás ,  Gyarmati Ákos ,  Hargitai Gábor ,  Kocsis Albert Tihamér ,  Kőrizs András ,  Molnár Ágnes ,  Nagy Szabolcs ,  Pach Péter Pál ,  Pallos Péter ,  Paulin Dániel ,  Paulin Roland ,  Pongrácz András ,  Rácz Béla András ,  Regula Gergely ,  Rendes Gábor ,  Révész Dániel ,  Salát Máté ,  Simon Balázs ,  Somogyi Dávid ,  Tábor Áron 
Füzet: 2003/május, 276 - 277. oldal  PDF file
Témakör(ök): Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/február: B.3529

Egy mértani sorozat első néhány tagjának összege 11, négyzetösszegük 341, köbösszegük 3641. Határozzuk meg a sorozat tagjait.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelölje a sorozat első elemét a, hányadosát q, tagjainak számát pedig n. A q nem lehet 1, mert akkor an=11, a2n=341 miatt a=31, n=1131 lenne, ami nem egész. Így a következő összefüggéseket írhatjuk föl:

aqn-1q-1=11,(1)
a2q2n-1q2-1=341,(2)
a3q3n-1q3-1=3641.(3)

A második egyenletet az első négyzetével elosztva kapjuk, hogy
(qn+1)(q-1)(qn-1)(q+1)=3111.
Ebből qn=21q+1010q+21. Ezt (1)-be helyettesítve a=10q+21 adódik.
A qn-re és a-ra kapott összefüggéseket (3)-ba beírva, és használva az
x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)
azonosságot:
(10q+21)3(21q+1010q+21)3-1q3-1=3641,(21q+10)3-(10q+21)3q3-1=3641,(11q-11)((21q+10)2+(21q+10)(10q+21)+(10q+21)2)(q-1)(q2+q+1)=11331;
egyszerűsíthetünk q-10-val, végül 11-gyel történő leosztás, majd rendezés után a 2q2+5q+2=0 egyenlethez jutunk. Ebből q lehetséges értékeire q=-2, illetve q=-12 adódik. (Ez nem meglepő, hiszen ha egy sorozat egy bizonyos q-val mint hányadossal megoldás, akkor ugyanez a sorozat fordított sorrendben és 1q hányadossal szintén megoldás.) Kapjuk, hogy a1=1, n1=5, illetve a2=16, n2=5.
A feladat megoldása tehát a következő két 5-tagú sorozat (melyekről könnyen ellenőrizhetjük, hogy valóban kielégítik a feltételeket): 1, -2, 4, -8, 16, illetve 16, -8, 4, -2, 1.
(Pongrácz András (Szolnok, Verseghy Ferenc Gimn., 10. évf.) dolgozata alapján