Kezdőlap


Feladat:	B.3529	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balogh János , Baráth Géza , Bartha Ágnes , Beke Krisztina , Bérczi Kristóf , Birkner Tamás , Bóka Gergely , Boros Balázs , Dénes Ferenc , Eckert Bernadett , Fehér Gábor , Filus Tamás , Gyarmati Ákos , Hargitai Gábor , Kocsis Albert Tihamér , Kőrizs András , Molnár Ágnes , Nagy Szabolcs , Pach Péter Pál , Pallos Péter , Paulin Dániel , Paulin Roland , Pongrácz András , Rácz Béla András , Regula Gergely , Rendes Gábor , Révész Dániel , Salát Máté , Simon Balázs , Somogyi Dávid , Tábor Áron
Füzet:	2003/május, 276 - 277. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/február: B.3529

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelölje a sorozat első elemét $a$ , hányadosát $q$ , tagjainak számát pedig $n$ . A $q$ nem lehet 1, mert akkor $a n = 11$ , $a^{2} n = 341$ miatt $a = 31$ , $n = \frac{11}{31}$ lenne, ami nem egész. Így a következő összefüggéseket írhatjuk föl:

\begin{matrix} a \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1} = 11, \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} a^{2} \cdot \frac{q^{2 n} - 1}{q^{2} - 1} = 341, \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} a^{3} \cdot \frac{q^{3 n} - 1}{q^{3} - 1} = 3641. \end{matrix}

(3)

A második egyenletet az első négyzetével elosztva kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{(q^{n} + 1) (q - 1)}{(q^{n} - 1) (q + 1)} = \frac{31}{11} . \end{matrix}

Ebből

q^{n} = \frac{21 q + 10}{10 q + 21}

. Ezt (1)-be helyettesítve

a = 10 q + 21

adódik.
A

q^{n}

-re és

a

-ra kapott összefüggéseket (3)-ba beírva, és használva az

\begin{matrix} x^{3} - y^{3} = (x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) \end{matrix}

azonosságot:

\begin{matrix} \begin{matrix} {(10 q + 21)}^{3} \frac{{(\frac{21 q + 10}{10 q + 21})}^{3} - 1}{q^{3} - 1} = 3641, \\ \frac{{(21 q + 10)}^{3} - {(10 q + 21)}^{3}}{q^{3} - 1} = 3641, \\ \frac{(11 q - 11) ({(21 q + 10)}^{2} + (21 q + 10) (10 q + 21) + {(10 q + 21)}^{2})}{(q - 1) (q^{2} + q + 1)} = 11 \cdot 331; \end{matrix} \end{matrix}

egyszerűsíthetünk

q - 1 \neq 0

-val, végül 11-gyel történő leosztás, majd rendezés után a

2 q^{2} + 5 q + 2 = 0

egyenlethez jutunk. Ebből

q

lehetséges értékeire

q = - 2

, illetve

q = - \frac{1}{2}

adódik. (Ez nem meglepő, hiszen ha egy sorozat egy bizonyos

q

-val mint hányadossal megoldás, akkor ugyanez a sorozat fordított sorrendben és

\frac{1}{q}

hányadossal szintén megoldás.) Kapjuk, hogy

a_{1} = 1

n_{1} = 5

, illetve

a_{2} = 16

n_{2} = 5

.
A feladat megoldása tehát a következő két 5-tagú sorozat (melyekről könnyen ellenőrizhetjük, hogy valóban kielégítik a feltételeket): 1,

- 2

, 4,

- 8

, 16, illetve 16,

- 8

, 4,

- 2

, 1.

() Pongrácz András (Szolnok, Verseghy Ferenc Gimn., 10. évf.) dolgozata alapján