Feladat: B.3588 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Backhausz Ágnes ,  Baráth Géza ,  Bérczi Kristóf ,  Birkus Róbert ,  Eckert Bernadett ,  Fehér Gábor ,  Gehér György ,  Hartmann Zoltán ,  Hubai Tamás ,  Jelitai Kálmán ,  Király Csaba ,  Kiss-Tóth Christián ,  Komjáthy Júlia ,  Koreck Péter ,  Mészáros Tamás ,  Molnár András ,  Pongrácz András ,  Rácz Judit ,  Salát Máté ,  Sándor Ágnes ,  Sándor Nóra Katalin ,  Sparing Dániel ,  Szabó Botond ,  Szijártó András ,  Tábor Áron ,  Torma Róbert 
Füzet: 2003/április, 223 - 226. oldal  PDF file
Témakör(ök): Mértani helyek, Kör geometriája, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Thalesz tétel és megfordítása, Paralelogrammák, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/november: B.3588

Adott egy kör és a belsejében az M pont. Egy M csúcsú derékszög szárai a kört az A és B pontokban metszik. Mi az AB szakasz felezőpontjának mértani helye, ha a derékszög körbefordul az M pont körül?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelölje H a keresett ponthalmazt, O a kör középpontját, r pedig a sugarát. Ha FH, akkor OF merőleges az AB húrra, így Pitagorasz tétele szerint OF2+AF2=OA2=r2 (1. ábra). A derékszögű AMB háromszögben F az átfogó felezőpontja, ezért AF=FM, és így

OF2+FM2=r2.(1)
Állítjuk, hogy a talált feltétel elégséges: ha a sík egy adott F pontjára teljesül (1), akkor FH. Először is megmutatjuk, hogy ekkor F a kör középpontjától különböző belső pont, azaz 0<OF<r. (1) miatt nyilván 0OFr. Ha itt OF=0, azaz O=F, akkor FM=OM=r, ami nem lehet, hiszen az M belső pont. Hasonlóan, ha OF=r, akkor FM=0, F és M esnek egybe és ismét OM=r adódik.
 
 

1. ábra
 

Létezik tehát az OF-re F-ben merőleges egyenes és két pontban metszi a kört. Ha ez a szelő az AB húr, akkor az F pont felezi, így a Pitagorasz-tételből AF2=r2-OF2, ami (1) szerint éppen FM2. Így FA=FM=FB, és mivel A, B és M különböző pontok, a létrejövő AMB háromszögben az M csúcsnál valóban derékszög van.
Azt kell tehát tisztáznunk, hogy mi azoknak az F pontoknak a mértani helye, amelyekre (1) teljesül, azaz amelyek két adott ponttól mért távolságának négyzetösszege állandó. Ezt megtehetnénk koordinátageometriai eszközökkel, azonban egy hasznos eredmény, az úgynevezett paralelogramma-tétel gyors befejezést tesz lehetővé.
 
Tétel. Egy paralelogrammában az oldalak négyzetösszege az átlók négyzetösszegével egyenlő. (A tétel a Geometriai feladatok gyűjteménye II. 289. feladata.)
 
 

2. ábra
 

Tükrözzük az OFM háromszöget az OM szakasz S felezőpontjára (2. ábra). Így az OFMG paralelogrammát kapjuk. Ha OM=d, akkor a paralelogramma-tétel szerint a sík tetszőleges F pontjára
2(OF2+FM2)=OM2+FG2=d2+4FS2.
Rendezés után
FS2=14(2(OF2+FM2)-d2),(2)
tehát (1) pontosan akkor teljesül az F pontra, ha FS2=14(2r2-d2). Ez pedig akkor és csak akkor igaz, ha F az S középpontú, 2r2-d22 sugarú körön van.
Mivel minden egyes lépésben szükséges és elégséges feltételt adtunk meg, a keresett mértani hely egy kör, amelynek középpontja az OM szakasz felezőpontja, sugara pedig 2r2-d22.
(Backhausz Ágnes (Budapest, Fazekas Mihály Gimn., 12. évf.)

 
Megjegyzés. Ha adottak a síkon az A1,A2,...,An pontok és egy P0 pont, akkor akár a paralelogrammatétel ismételt alkalmazásával, akár koordinátageometriai eszközökkel egyszerűen igazolható, hogy azon P pontok mértani helye, amelyekre
A1P2+A2P2+...+AnP2=A1P02+A2P02+...+AnP02
egy olyan kör, amelynek a középpontja az A1,A2,...,An pontrendszer S súlypontja és a kör átmegy a P0 ponton. Ha pedig azt kérdezzük, hogy mi azon P pontok mértani helye, amelyekre az A1P2+A2P2+...+AnP2 négyzetösszeg állandó, akkor a válasz ennek az állandónak az értékétől függően egy S középpontú kör, az S pont, vagy pedig üres halmaz.
 
II. megoldás. A megoldásban felhasználjuk az alábbi segédtételt:

Ha az ABCD négyszög téglalap, akkor a sík ‐ valójában a tér ‐ tetszőleges P pontjára PA2+PC2=PB2+PD2 (3. ábra).
 
 

3. ábra
 

Ez az állítás az I. megoldásban kimondott paralelogramma-tételből következik. Annak (2) alakja szerint ugyanis egy pontot egy szakasz két végpontjával összekötő szakaszok négyzetösszege kizárólag a szakasz hosszától és a pontnak a szakasz felezőpontjától mért távolságától függ. Mivel egy téglalap átlói egyenlő hosszúak, a felezőpontjuk pedig egybeesik, az állítás valóban igaz.
Tekintsük most az M csúcsú derékszög egy adott helyzetét, és egészítsük ki az AMB háromszöget téglalappá (4. ábra). Legyen ennek a téglalapnak a negyedik csúcsa C.
 
 

4. ábra
 

Ekkor a fenti állítást az adott ‐ és a továbbiakban k-val jelölt ‐ kör O középpontjára és erre a téglalapra alkalmazva OM2+OC2=OA2+OB2=2r2. Ez azt jelenti, hogy a derékszöggel együtt forgó C pont állandó távolságra van a k kör O középpontjától:
OC2=2r2-d2.(3)
(Az előző megoldás szerint az OM szakasz hossza d.)
Megmutatjuk, hogy az így adódó, k-val koncentrikus c kör minden C pontjához van az M körül forgó derékszögnek olyan helyzete, hogy a 4. ábra szerint kapott téglalap negyedik csúcsa éppen C. Próbáljuk ehhez megszerkeszteni a megfelelő téglalapot.
 
 

5. ábra
 

Mivel d<r, azért (3)-ból OC>r adódik, a C tehát külső pontja a k körnek. A feltétel szerint viszont az M belső pont, így pedig az MC átmérőjű k' kör két pontban metszi k-t. Legyenek ezek A és B. (5. ábra). Meg kell mutatnunk, hogy az így szerkesztett CAMB négyszög valóban téglalap.
Thalész tétele szerint CAM=90, van tehát olyan B' pont, amelyre a CAMB' négyszög téglalap (6. ábra). Ennek a körülírt köre a CAM háromszög körülírt köre, azaz k'. A megoldás elején kimondott állítást most erre a CAMB' téglalapra és az O pontra alkalmazva (3) felhasználásával kapjuk, hogy
OB'2=OC2+OM2-OA2=(2r2-d2)+d2-r2=r2.

 
 

6. ábra
 

B' pont tehát a k körön is rajta van, és így nem más, mint a k és k' körök A-tól különböző metszéspontja, a B pont. Ez pedig éppen azt jelenti, hogy a CAMB négyszög azonos a CAMB' téglalappal.
A C pontok mértani helye tehát az O középpontú, 2r2-d2 sugarú c kör. Mivel F a szóban forgó téglalap AB átlójának a felezőpontja, azért felezi az MC átlót is. A keresett ponthalmaz tehát az MC szakaszok felezőpontjainak a mértani helye, miközben a C pont befutja a c kört: éppen a c körnek az M pontból felére kicsinyített képe. Az F pontok mértani helye tehát egy 2r2-d22 sugarú kör, melynek középpontja az OM szakasz felezőpontja.
(Pongrácz András (Szolnok, Verseghy Ferenc Gimn., 11. évf.) ötlete alapján