Feladat: B.3580 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Agócs Emil ,  Baráth Géza ,  Bartha Ferenc ,  Bérczi Kristóf ,  Birkner Tamás ,  Bódi Gergely ,  Boros Balázs ,  Csajbók Bence ,  Czank Tamás ,  Farkas Balázs ,  Ferenci Tamás ,  Füredi Mihály ,  Garab Ábel ,  Gáthy Lajos ,  Hartmann Zoltán ,  Horváth Zoltán ,  Jelitai Kálmán ,  Koltai Péter ,  Koreck Péter ,  Nándori Péter ,  Pálinkás Csaba ,  Poronyi Balázs ,  Rácz Judit ,  Rendes Gábor ,  Salát Máté ,  Sándor Ágnes ,  Simon Balázs ,  Szabó Botond ,  Szalai Attila ,  Szili Róbert ,  Tuska Gábor ,  Vass Márton 
Füzet: 2003/március, 153 - 155. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometriával, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/október: B.3580

Tekintsük azokat a tompaszögű háromszögeket, amelyek tompaszöge az egyik hegyesszögük kétszerese, és oldalaiknak hossza egész szám. Melyiküknek a legkisebb a kerülete?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelölje a háromszög szögeit α, β, 2β, a csúcsait rendre A, B, C, a velük szemben lévő oldalakat pedig rendre a, b, c. Mivel 2β>π2, így β>π4, azért α<π4, tehát a<b<c.
Írjuk fel a szinusz-tételt a c és a b oldalra:

cb=sin2βsinβ=2cosβ,amibőlcosβ=c2b.

A cosβ kifejezhető a koszinusz-tétel segítségével is: cosβ=a2+c2-b22ac. A kétféle kifejezést egybevetve kapjuk:
c2b=a2+c2-b22ac.

Átrendezés, kiemelés után: (a-b)c2-b(a+b)(a-b)=0. Mivel ab, azért c2=b(a+b). A háromszög oldalai pozitív egész számok, ezért b osztója c2-nek. Ugyanakkor az utolsóként adódott összefüggésből:
c2=b(a+b)<2b2,azazb<c<2b.

Vizsgáljuk ennek az egyenlőtlenségnek megfelelően a lehetséges háromszögoldalakat a b növekvő sorrendben vett értékeiből kiindulva; figyeljünk közben a bc2 oszthatóságra is. Először b=9 esetén találunk jó c értéket: c=12. Ekkor
a=c2-b2b=7,
a háromszög kerülete pedig 28. Tovább növelve b értékét b<14 esetén nem találunk további jó c értéket; ha pedig b14, akkor c15, vagyis a kerület biztosan nagyobb 28-nál.
A legkisebb kerületű ,,jó'' háromszög oldalai tehát 7, 9, 12; kerülete pedig 28.
(Bartha Ferenc (Szeged, Radnóti Miklós Kísérleti Gimnázium, 12. évf.)

 
Megjegyzés: 1. A megoldás végi próbálkozások lerövidíthetőek, ha észrevesszük, hogy bc nem teljesülhet (hiszen c hossza a b oldal hosszának egyszerese és kétszerese közé esik), de bc2-nek teljesülnie kell. Ez azt jelenti, hogy b-nek biztosan van olyan prímosztója, ami legalább második hatványon szerepel, vagyis a b nem négyzetmentes szám, így b{4;8;9;12;...}.
2. A megoldás elején is alkalmazhatunk más módszert. Egy elemibb út a következő: Mivel 2β>π2, így β>π4, azaz α<π4 és a<b<c. Húzzuk be a háromszög tompaszögének szögfelezőjét. (Ez messe az AB oldalt a D pontban.) Ez két háromszögre bontja az eredeti háromszöget, melyek közül az egyik (ADC) a szögei alapján hasonló az eredetihez. A szögfelező-tétel segítségével kapjuk, hogy AD=bca+b. Írjuk fel a két hasonló háromszög megfelelő (a két hosszabb) oldalainak arányát: bca+b:b=b:c. Ebből átrendezés után a c2=b(a+b) összefüggést kapjuk.
3. Sokan megtalálták a legkisebb kerületű háromszöget, de nem mutatták meg pontosan, miért ez a legkisebb; illetve néhányan olyan háromszöget találtak, amely nem tompaszögű. Ezek a dolgozatok 3; illetve 2 pontot kaptak.