|
Feladat: |
B.3580 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Agócs Emil , Baráth Géza , Bartha Ferenc , Bérczi Kristóf , Birkner Tamás , Bódi Gergely , Boros Balázs , Csajbók Bence , Czank Tamás , Farkas Balázs , Ferenci Tamás , Füredi Mihály , Garab Ábel , Gáthy Lajos , Hartmann Zoltán , Horváth Zoltán , Jelitai Kálmán , Koltai Péter , Koreck Péter , Nándori Péter , Pálinkás Csaba , Poronyi Balázs , Rácz Judit , Rendes Gábor , Salát Máté , Sándor Ágnes , Simon Balázs , Szabó Botond , Szalai Attila , Szili Róbert , Tuska Gábor , Vass Márton |
Füzet: |
2003/március,
153 - 155. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Síkgeometriai számítások trigonometriával, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2002/október: B.3580 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Jelölje a háromszög szögeit , , , a csúcsait rendre , , , a velük szemben lévő oldalakat pedig rendre , , . Mivel , így , azért , tehát . Írjuk fel a szinusz-tételt a és a oldalra: | |
A kifejezhető a koszinusz-tétel segítségével is: . A kétféle kifejezést egybevetve kapjuk: Átrendezés, kiemelés után: . Mivel , azért . A háromszög oldalai pozitív egész számok, ezért osztója -nek. Ugyanakkor az utolsóként adódott összefüggésből: | |
Vizsgáljuk ennek az egyenlőtlenségnek megfelelően a lehetséges háromszögoldalakat a növekvő sorrendben vett értékeiből kiindulva; figyeljünk közben a oszthatóságra is. Először esetén találunk jó értéket: . Ekkor a háromszög kerülete pedig 28. Tovább növelve értékét esetén nem találunk további jó értéket; ha pedig , akkor , vagyis a kerület biztosan nagyobb 28-nál. A legkisebb kerületű ,,jó'' háromszög oldalai tehát 7, 9, 12; kerülete pedig 28.
() Bartha Ferenc (Szeged, Radnóti Miklós Kísérleti Gimnázium, 12. évf.) |
Megjegyzés: 1. A megoldás végi próbálkozások lerövidíthetőek, ha észrevesszük, hogy nem teljesülhet (hiszen hossza a oldal hosszának egyszerese és kétszerese közé esik), de -nek teljesülnie kell. Ez azt jelenti, hogy -nek biztosan van olyan prímosztója, ami legalább második hatványon szerepel, vagyis a nem négyzetmentes szám, így . 2. A megoldás elején is alkalmazhatunk más módszert. Egy elemibb út a következő: Mivel , így , azaz és . Húzzuk be a háromszög tompaszögének szögfelezőjét. (Ez messe az oldalt a pontban.) Ez két háromszögre bontja az eredeti háromszöget, melyek közül az egyik () a szögei alapján hasonló az eredetihez. A szögfelező-tétel segítségével kapjuk, hogy . Írjuk fel a két hasonló háromszög megfelelő (a két hosszabb) oldalainak arányát: . Ebből átrendezés után a összefüggést kapjuk. 3. Sokan megtalálták a legkisebb kerületű háromszöget, de nem mutatták meg pontosan, miért ez a legkisebb; illetve néhányan olyan háromszöget találtak, amely nem tompaszögű. Ezek a dolgozatok 3; illetve 2 pontot kaptak. |
|