Kezdőlap


Feladat:	B.3580	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Agócs Emil , Baráth Géza , Bartha Ferenc , Bérczi Kristóf , Birkner Tamás , Bódi Gergely , Boros Balázs , Csajbók Bence , Czank Tamás , Farkas Balázs , Ferenci Tamás , Füredi Mihály , Garab Ábel , Gáthy Lajos , Hartmann Zoltán , Horváth Zoltán , Jelitai Kálmán , Koltai Péter , Koreck Péter , Nándori Péter , Pálinkás Csaba , Poronyi Balázs , Rácz Judit , Rendes Gábor , Salát Máté , Sándor Ágnes , Simon Balázs , Szabó Botond , Szalai Attila , Szili Róbert , Tuska Gábor , Vass Márton
Füzet:	2003/március, 153 - 155. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometriával, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/október: B.3580

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelölje a háromszög szögeit $α$ , $β$ , $2 β$ , a csúcsait rendre $A$ , $B$ , $C$ , a velük szemben lévő oldalakat pedig rendre $a$ , $b$ , $c$ . Mivel $2 β > \frac{π}{2}$ , így $β > \frac{π}{4}$ , azért $α < \frac{π}{4}$ , tehát $a < b < c$ .
Írjuk fel a szinusz-tételt a $c$ és a $b$ oldalra:

\begin{matrix} \frac{c}{b} = \frac{sin 2 β}{sin β} = 2 cos β, amiből cos β = \frac{c}{2 b} . \end{matrix}

cos β

kifejezhető a koszinusz-tétel segítségével is:

cos β = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c}

. A kétféle kifejezést egybevetve kapjuk:

\begin{matrix} \frac{c}{2 b} = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c} . \end{matrix}

Átrendezés, kiemelés után:

(a - b) c^{2} - b (a + b) (a - b) = 0

. Mivel

a \neq b

, azért

c^{2} = b (a + b)

. A háromszög oldalai pozitív egész számok, ezért

b

osztója

c^{2}

-nek. Ugyanakkor az utolsóként adódott összefüggésből:

\begin{matrix} c^{2} = b (a + b) < 2 b^{2}, azaz b < c < \sqrt[]{2} \cdot b . \end{matrix}

Vizsgáljuk ennek az egyenlőtlenségnek megfelelően a lehetséges háromszögoldalakat a

b

növekvő sorrendben vett értékeiből kiindulva; figyeljünk közben a

b ∣ c^{2}

oszthatóságra is. Először

b = 9

esetén találunk jó

c

értéket:

c = 12

. Ekkor

\begin{matrix} a = \frac{c^{2} - b^{2}}{b} = 7, \end{matrix}

a háromszög kerülete pedig 28. Tovább növelve

b

értékét

b < 14

esetén nem találunk további jó

c

értéket; ha pedig

b \geq 14

, akkor

c \geq 15

, vagyis a kerület biztosan nagyobb 28-nál.
A legkisebb kerületű ,,jó'' háromszög oldalai tehát 7, 9, 12; kerülete pedig 28.

() Bartha Ferenc (Szeged, Radnóti Miklós Kísérleti Gimnázium, 12. évf.)

Megjegyzés: 1. A megoldás végi próbálkozások lerövidíthetőek, ha észrevesszük, hogy

b ∣ c

nem teljesülhet (hiszen

c

hossza a

b

oldal hosszának egyszerese és kétszerese közé esik), de

b ∣ c^{2}

-nek teljesülnie kell. Ez azt jelenti, hogy

b

-nek biztosan van olyan prímosztója, ami legalább második hatványon szerepel, vagyis a

b

nem négyzetmentes szám, így

b \in {4; 8; 9; 12; ...}

.
2. A megoldás elején is alkalmazhatunk más módszert. Egy elemibb út a következő: Mivel

2 β > \frac{π}{2}

, így

β > \frac{π}{4}

, azaz

α < \frac{π}{4}

és

a < b < c

. Húzzuk be a háromszög tompaszögének szögfelezőjét. (Ez messe az

A B

oldalt a

D

pontban.) Ez két háromszögre bontja az eredeti háromszöget, melyek közül az egyik (

A D C ▵

) a szögei alapján hasonló az eredetihez. A szögfelező-tétel segítségével kapjuk, hogy

A D = \frac{b c}{a + b}

. Írjuk fel a két hasonló háromszög megfelelő (a két hosszabb) oldalainak arányát:

\frac{b c}{a + b} : b = b : c

. Ebből átrendezés után a

c^{2} = b (a + b)

összefüggést kapjuk.
3. Sokan megtalálták a legkisebb kerületű háromszöget, de nem mutatták meg pontosan, miért ez a legkisebb; illetve néhányan olyan háromszöget találtak, amely nem tompaszögű. Ezek a dolgozatok 3; illetve 2 pontot kaptak.