Feladat: B.3520 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Backhausz Ágnes ,  Balogh 541 János ,  Bartha Emőke ,  Bartha Ferenc ,  Bóka Gergeley ,  Dömötör Csilla ,  Egri Attila ,  Farkas Norbert ,  Fehér Gábor ,  Filus Tamás ,  Hablicsek Márton ,  Hamar Gergő ,  Hargitai Gábor ,  Jesch Dávid ,  Kiss 921 Gábor ,  Kiss Demeter ,  Kiss-Tóth Christián ,  Kocsis Albert Tihamér ,  Koltai Péter ,  Komjáthi Bálint ,  Kőrizs András ,  Kórus Péter ,  Kovács 111 Péter ,  Maga Péter ,  Molnár 712 Ágnes ,  Nagy 176 Ákos ,  Nagy 359 Gábor ,  Nagy Ákos ,  Pach Péter Pál ,  Pálinkás Csaba ,  Pallos Péter ,  Paulin Dániel ,  Pongrácz András ,  Poronyi Balázs ,  Rácz Béla András ,  Rácz Judit ,  Reiss Attila ,  Rendes Gábor ,  Ruppert László Gábor ,  Salát Máté ,  Simon Balázs ,  Siroki László ,  Somogyi Dávid ,  Sparing Dániel ,  Szabó Áron ,  Szalai Attila ,  Tábor Áron ,  Zséger Ádám ,  Ördög Noémi 
Füzet: 2003/január, 32 - 33. oldal  PDF file
Témakör(ök): Racionális számok és tulajdonságaik, Konstruktív megoldási módszer, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/január: B.3520

A valós számok közül bizonyosakat pirosra festünk, mégpedig úgy, hogy ha az x szám piros, akkor az x+1 és xx+1 számokat is pirosra festjük. Mely számok lesznek pirosak, ha kezdetben csak az 1 piros?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. A színezés szabályaiból következik, hogy csak pozitív racionális számok lehetnek pirosak. Ha ugyanis x=pq pozitív racionális szám, ahol p és q pozitív egészek, akkor x+1=p+qq és xx+1=pp+q is pozitív racionális számok. Mivel kezdetben csak az 1 piros, azért a többi piros szám is pozitív lesz és racionális.
Megmutatjuk, hogy az összes pozitív racionális szám piros lesz, vagyis megkapható az 1-ből kiindulva, az xx+1 és az xxx+1 függvények segítségével. Ezt úgy igazoljuk, hogy egy tetszőleges pozitív racionális számból előállítjuk az 1-et a fenti függvények inverzeinek a segítségével.
Az xx+1 függvény inverze az xx-1 függvény. Ha x=pq, akkor
x=pqp-qq,
tehát a számlálóból kivonjuk a nevezőt. Természetesen ezt a hozzárendelést csak akkor alkalmazhatjuk, ha pq>1.
Az xxx+1 függvény inverze az xx1-x; így
x=pqpq-p,
tehát a nevezőből kivonjuk a számlálót ‐ természetesen ezt a hozzárendelést csak akkor alkalmazhatjuk, ha pq<1.
A fenti két függvény segítségével bármely 1-től különböző, pozitív racionális számtól eljuthatunk az 1-hez. Ha ugyanis a racionális szám nagyobb 1-nél, akkor a számlálójából kivonjuk a nevezőt, ha pedig a szám kisebb 1-nél, akkor a nevezőből vonjuk ki a számlálót. Mindkét művelet során a számláló vagy nevező közül az egyik változatlan marad, a másik pedig csökken (miközben továbbra is pozitív marad), tehát véges sok lépés után egyenlők lesznek.
(Nagy Ákos (Budapest, Szent István Gimn., 9. évf.)