Feladat:	B.3520	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Backhausz Ágnes ,  Balogh 541 János ,  Bartha Emőke ,  Bartha Ferenc ,  Bóka Gergeley ,  Dömötör Csilla ,  Egri Attila ,  Farkas Norbert ,  Fehér Gábor ,  Filus Tamás ,  Hablicsek Márton ,  Hamar Gergő ,  Hargitai Gábor ,  Jesch Dávid ,  Kiss 921 Gábor ,  Kiss Demeter ,  Kiss-Tóth Christián ,  Kocsis Albert Tihamér ,  Koltai Péter ,  Komjáthi Bálint ,  Kőrizs András ,  Kórus Péter ,  Kovács 111 Péter ,  Maga Péter ,  Molnár 712 Ágnes ,  Nagy 176 Ákos ,  Nagy 359 Gábor ,  Nagy Ákos ,  Pach Péter Pál ,  Pálinkás Csaba ,  Pallos Péter ,  Paulin Dániel ,  Pongrácz András ,  Poronyi Balázs ,  Rácz Béla András ,  Rácz Judit ,  Reiss Attila ,  Rendes Gábor ,  Ruppert László Gábor ,  Salát Máté ,  Simon Balázs ,  Siroki László ,  Somogyi Dávid ,  Sparing Dániel ,  Szabó Áron ,  Szalai Attila ,  Tábor Áron ,  Zséger Ádám ,  Ördög Noémi
Füzet:	2003/január, 32 - 33. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Konstruktív megoldási módszer, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/január: B.3520

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A színezés szabályaiból következik, hogy csak pozitív racionális számok lehetnek pirosak. Ha ugyanis $x=\frac{p}{q}$ pozitív racionális szám, ahol $p$ és $q$ pozitív egészek, akkor $x+1=\frac{p+q}{q}$ és $\frac{x}{x+1}=\frac{p}{p+q}$ is pozitív racionális számok. Mivel kezdetben csak az $1$ piros, azért a többi piros szám is pozitív lesz és racionális. Megmutatjuk, hogy az összes pozitív racionális szám piros lesz, vagyis megkapható az $1$-ből kiindulva, az $x\mapsto x+1$ és az $x\mapsto \frac{x}{x+1}$ függvények segítségével. Ezt úgy igazoljuk, hogy egy tetszőleges pozitív racionális számból előállítjuk az 1-et a fenti függvények inverzeinek a segítségével. Az $x\mapsto x+1$ függvény inverze az $x\mapsto x-1$ függvény. Ha $x=\frac{p}{q}$, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\frac{p}{q}\mapsto \frac{p-q}{q}\mathrm{,}}\end{array}$ tehát a számlálóból kivonjuk a nevezőt. Természetesen ezt a hozzárendelést csak akkor alkalmazhatjuk, ha $\frac{p}{q}>1$. Az $x\mapsto \frac{x}{x+1}$ függvény inverze az $x\mapsto \frac{x}{1-x}$; így $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\frac{p}{q}\mapsto \frac{p}{q-p}\mathrm{,}}\end{array}$ tehát a nevezőből kivonjuk a számlálót ‐ természetesen ezt a hozzárendelést csak akkor alkalmazhatjuk, ha $\frac{p}{q}<1$. A fenti két függvény segítségével bármely 1-től különböző, pozitív racionális számtól eljuthatunk az $1$-hez. Ha ugyanis a racionális szám nagyobb $1$-nél, akkor a számlálójából kivonjuk a nevezőt, ha pedig a szám kisebb $1$-nél, akkor a nevezőből vonjuk ki a számlálót. Mindkét művelet során a számláló vagy nevező közül az egyik változatlan marad, a másik pedig csökken (miközben továbbra is pozitív marad), tehát véges sok lépés után egyenlők lesznek. () Nagy Ákos (Budapest, Szent István Gimn., 9. évf.)