Feladat: C.677 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Antal László ,  Balogh Tamás ,  Bartolits Ákos ,  Bereczki Péter ,  Bücs Róbert ,  Cseh Judit ,  Fehér Borbála ,  Folk Szonja Florina ,  Gidófalvy Kitti ,  Horváth Ágnes ,  Illés Evelin ,  Jáger Viktor ,  Komáromy Dávid ,  Librecz Bernadett ,  Mezei Márk ,  Nagy Judit ,  Orbán Zsolt ,  Szabó-Bálint Zoltán ,  Szalai Erika ,  Szécsi Zsuzsanna ,  Szegő Márton ,  Varga Viktória ,  Vaskó Richárd 
Füzet: 2003/január, 28 - 29. oldal  PDF file
Témakör(ök): Prímszámok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/május: C.677

Határozzuk meg az a és b egész számokat, ha a4+(a+b)4+b4 négyzetszám.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. Tegyük fel, hogy létezik olyan x egész szám, amelyre
a4+(a+b)4+b4=x2.
Alakítsuk át az egyenletet: a4+b4=x2-(a+b)4. A bal oldalt tovább alakítva: [(a+b)2-2ab]2-2a2b2=x2-(a+b)4, azaz 2(a+b)4-4ab(a+b)2+2(ab)2=x2. Innen x2=2[(a+b)2-ab]2.
Az egyenlőség csak akkor állhat fenn, ha x=0, mert a bal oldalon egy négyzetszám áll, melyben minden prímtényező páros hatványon szerepel, a jobb oldalon viszont a 2 kitevője páratlan.
Vagyis (a+b)2-ab=0. Elvégezve a négyzetre emelést, kapjuk, hogy
a2+ab+b2=0.
Innen, ha b=0, akkor a is egyenlő 0-val. Ha viszont b0, akkor
a=-b±b2-4b22.
A diszkrimináns negatív, vagyis nincs megoldása az egyenletnek még a valós számok körében sem. A kifejezés csak a=b=0 esetén lesz négyzetszám.
 
II. megoldás. Négyzetszám (és így minden negyedik hatvány is) 4-gyel osztva 0-t vagy 1-et adhat csak maradékul, előbbit akkor, ha páros, utóbbit akkor, ha páratlan. Valóban, ha x páros, akkor x=2k, ezért x2=4k2 osztható 4-gyel. Ha pedig x páratlan, akkor x=2k+1, így
x2=(2k+1)2=4k2+4k+1=4(k2+k)+1.

Így a, b és a+b közül legfeljebb egy lehet páratlan, hiszen az összegük ‐ ami négyzetszám ‐ csak így adhat 0 vagy 1 maradékot 4-gyel osztva. Ha azonban pl. a páratlan, és akkor b szükségképpen páros, úgy a+b is páratlan lenne, ami ellentmondás. Tehát a és b egyaránt páros (és akkor persze a+b is az): a=2a1, b=2b1. Ezért, ha a4+(a+b)4+b4=16(a14+(a1+b1)4+b14) négyzetszám, akkor a14+(a1+b1)4+b14 is az. Így a1 és b1 egyaránt páros, és így tovább. Azt kaptuk, hogy a és b a 2-nek akárhányadik hatványával osztható, ami csak akkor lehetséges, ha a=b=0; ez a feladat egyetlen megoldása.