Feladat:	C.677	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Antal László ,  Balogh Tamás ,  Bartolits Ákos ,  Bereczki Péter ,  Bücs Róbert ,  Cseh Judit ,  Fehér Borbála ,  Folk Szonja Florina ,  Gidófalvy Kitti ,  Horváth Ágnes ,  Illés Evelin ,  Jáger Viktor ,  Komáromy Dávid ,  Librecz Bernadett ,  Mezei Márk ,  Nagy Judit ,  Orbán Zsolt ,  Szabó-Bálint Zoltán ,  Szalai Erika ,  Szécsi Zsuzsanna ,  Szegő Márton ,  Varga Viktória ,  Vaskó Richárd
Füzet:	2003/január, 28 - 29. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Prímszámok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/május: C.677

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Tegyük fel, hogy létezik olyan $x$ egész szám, amelyre $\begin{array}{c}{\displaystyle a^4+{\left(a+b\right)}^4+b^4=x^2\mathrm{.}}\end{array}$ Alakítsuk át az egyenletet: $a^4+b^4=x^2-{\left(a+b\right)}^4$. A bal oldalt tovább alakítva: ${\left[{\left(a+b\right)}^2-2ab\right]}^2-2a^2{b}^2=x^2-{\left(a+b\right)}^4$, azaz $2{\left(a+b\right)}^4-4ab{\left(a+b\right)}^2+2{\left(ab\right)}^2=x^2$. Innen $x^2=2{\left[{\left(a+b\right)}^2-ab\right]}^2$. Az egyenlőség csak akkor állhat fenn, ha $x=0$, mert a bal oldalon egy négyzetszám áll, melyben minden prímtényező páros hatványon szerepel, a jobb oldalon viszont a 2 kitevője páratlan. Vagyis ${\left(a+b\right)}^2-ab=0$. Elvégezve a négyzetre emelést, kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle a^2+ab+b^2=0.}\end{array}$ Innen, ha $b=0$, akkor $a$ is egyenlő 0-val. Ha viszont $b\ne 0$, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle a=\frac{-b\pm \sqrt[]{b^2-4b^2}}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ A diszkrimináns negatív, vagyis nincs megoldása az egyenletnek még a valós számok körében sem. A kifejezés csak $a=b=0$ esetén lesz négyzetszám.   II. megoldás. Négyzetszám (és így minden negyedik hatvány is) 4-gyel osztva 0-t vagy 1-et adhat csak maradékul, előbbit akkor, ha páros, utóbbit akkor, ha páratlan. Valóban, ha $x$ páros, akkor $x=2k$, ezért $x^2=4k^2$ osztható 4-gyel. Ha pedig $x$ páratlan, akkor $x=2k+1$, így $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2={\left(2k+1\right)}^2=4k^2+4k+1=4\left(k^2+k\right)+1.}\end{array}$ Így $a$, $b$ és $a+b$ közül legfeljebb egy lehet páratlan, hiszen az összegük ‐ ami négyzetszám ‐ csak így adhat 0 vagy 1 maradékot 4-gyel osztva. Ha azonban pl. $a$ páratlan, és akkor $b$ szükségképpen páros, úgy $a+b$ is páratlan lenne, ami ellentmondás. Tehát $a$ és $b$ egyaránt páros (és akkor persze $a+b$ is az): $a=2a_1$, $b=2b_1$. Ezért, ha $a^4+{\left(a+b\right)}^4+b^4=16\left(a_1^4+{\left(a_1+b_1\right)}^4+b_1^4\right)$ négyzetszám, akkor $a_1^4+{\left(a_1+b_1\right)}^4+b_1^4$ is az. Így $a_1$ és $b_1$ egyaránt páros, és így tovább. Azt kaptuk, hogy $a$ és $b$ a 2-nek akárhányadik hatványával osztható, ami csak akkor lehetséges, ha $a=b=0$; ez a feladat egyetlen megoldása.