Feladat: B.3559 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Balogh János ,  Bérczi Kristóf ,  Bergmann Gábor ,  Bisztray Márta ,  Bóka Gergely ,  Garab Ábel ,  Gyarmati Ákos ,  Hablicsek Márton ,  Hargitai Gábor ,  Horváth Márton ,  Hubai Tamás ,  Juhász Máté Lehel ,  Pach Péter Pál ,  Pálinkás Csaba ,  Pallos Péter ,  Pongrácz András ,  Puskás Anna ,  Rácz Béla András ,  Simon Balázs ,  Siroki László ,  Szabó Botond ,  Torma Róbert ,  Tóth János ,  Zsbán Ambrus 
Füzet: 2002/december, 549 - 551. oldal  PDF file
Témakör(ök): Koszinusztétel alkalmazása, Vetítések, Transzformációk szorzata, Hasonlósági transzformációk, Síkgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/május: B.3559

Adottak a síkon az e1,e2,...,en egyenesek. Az e1 egyenes egy tetszőleges P1 pontjából merőlegest bocsátunk az e2-re, ennek talppontja P2. Ezután a P2-ből e3-ra bocsátott merőleges talppontja P3, és így tovább, végül az en egyenesen kapott Pn pontból az e1-re bocsátott merőleges talppontja Pn+1. Bizonyítsuk be, hogy az e1 egyenesnek van olyan P1 pontja, hogy az így kapott Pn+1 egybeesik P1-gyel.
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Vegyünk fel minden egyenesen egy adott irányítást, és vegyünk az e1 egyenesen egy O1 pontot. Ennek vetülete az e2-n O2, az O2e3-on O3, ..., On-1-é az en-en On. Legyen végül az On merőleges vetülete az e1 egyenesen O'. Az O1O' irányított távolságot jelölje p.

 
 

Legyen az irányított O1P1 távolság d, legyen ei és ei+1 közötti szög αi. (αn az en és az e1 szöge; a szögeket a skaláris szorzatnál szokott módon, tehát az azonosan irányított szárak között mérjük, így az értékük 0-tól 180-ig terjedhet.)
Ismert (de az ábráról is leolvasható), hogy minden i<n-re
Oi+1Pi+1=cosαiOiPi,
ahol a szakaszhosszak az egyeneseiknek megfelelően irányítottan értendők. Az utolsó lépésre ez annyiban módosul, hogy
O1Pn+1=p+O'Pn+1=p+cosαnOnPn.

Tehát végül O1Pn+1=p+di=1ncosαi. Pontosan akkor felel meg a P1 pont, ha az előbbi kifejezés d-vel egyezik. Ilyen d mindig van: ha a q=i=1ncosαi mennyiség 1, akkor minden koszinusz egységnyi (különben a szorzat abszolút értéke nem érné el az 1-et), azaz minden egyenes párhuzamos (azonos vagy ellentétes irányítással); ekkor látható, hogy minden pont jó lesz az e1 egyenesen (a Pi pontok egy, az ei egyenesekre merőleges egyenesen vannak.)
Ha viszont q nem 1, akkor pontosan egy jó P1 pont, azaz d távolság van:
d=p+qd,d=p1-q.
Ennél a d értéknél P1=Pn+1.
Rácz Béla András (Budapest, Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 10. évf.)

 
II. megoldás. Tekintsük azokat a T1,T2,...,Tn körüljárástartó hasonlósági transzformációkat, amelyek egy adott P1 pontot P2-be, P2-t P3-ba, és így tovább, Pi-t Pi+1-be, végül Pn-t Pn+1-be viszik. A Pi+1 pont a Pi pontból ei+1-re állított merőleges talppontja, azaz tulajdonképpen Pi merőleges vetülete ei+1-re. Ez azt jelenti, hogy a Ti transzformációk megadhatók a P1 kiválasztásától függetlenül is: például, ha a Ti transzformáció az ei egyenes merőleges vetítése az ei+1 egyenesre. Ez valóban körüljárástartó hasonlósági transzformáció, mert ha a két egyenes szöge αi, akkor az ei egyenesen egy αi szögű, cosαi arányú forgatva nyújtással ekvivalens. A T1,T2,...,Tn transzformációkat egymás után végrehajtva a P1 pontból a Pn+1 pontot, az e1 egyenesből en+1 egyenest kapjuk. A feladat állítása ekvivalens azzal, hogy a T1,T2,...,Tn transzformációk összetételével kapott T nyilvánvalóan szintén kürüljárástartó és hasonlósági (szakaszaránytartó) transzformációnak (a Ti transzformációk szorzatának) van legalább egy fix pontja az e1 egyenesen. Tudjuk (például Reiman István: Geometria és határterületei, 1999. 7.5. része alapján), hogy egy körüljárástartó hasonlóság csak eltolás vagy forgatva nyújtás lehet. Az e1 egyenes képe T-re önmaga, ebből következik, hogy ha T forgatva nyújtás, akkor a forgatási szög 180 többszöröse, azaz T tulajdonképpen egy középpontos hasonlóság, és vagy e1-en van a középpontja, ami fix pont, vagy a hasonlóság aránya 1, ekkor azonban T az identitás és e1 minden pontja megfelel a feladat feltételeinek. Ha T nem forgatva nyújtás, akkor eltolás, vagyis egy egybevágóság. T-ről tudjuk, hogy hasonlósági aránya, mivel a T1,T2,...,Tn hasonlóságok szorzataként kaptuk,
λ=i=1ncosαi.
Tehát (mivel minden i-re -1cosαi1) T pontosan akkor egybevágóság, ha λ=1, azaz T csak akkor lehet eltolás, ha minden i-re cosαi=±1, azaz az ei egyenesek párhuzamosak. Ebben az esetben azonban nyilvánvaló, hogy a T transzformáció az identitás, és az e1 egyenes minden pontja megfelel a feladat feltételeinek.
Puskás Anna (Budapest, Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 10. évf.)

 
Megjegyzés. Gyarmati Ákos (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., 9. évf.) a KöMaL 1987/12. számában megtalálta a feladat kitűzését F. 2666. sorszámmal, a megoldásait pedig az 1988/5. szám 205‐207. oldalán.