Kezdőlap


Feladat:	B.3553	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pálinkás Csaba
Füzet:	2002/december, 547. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Súlyvonal, Középponti és kerületi szögek, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Szögfelező egyenes, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/május: B.3553

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A B$ szakasz $A_{1}$ -ből derékszögben látszik, ezért $A_{1}$ rajta van $A B$ Thalész-körén. E kör középpontja $A B$ felezőpontja, vagyis $C_{1}$ . Mivel a $C_{1} A_{1} B_{1}$ háromszög szabályos, ezen a Thalész-körön a $B_{1}$ pont is rajta van. Ezért $A B$ a $B_{1}$ -ből is derékszögben látszik, vagyis a $B B_{1}$ szögfelező egyben a $B$ csúcshoz tartozó magasság is. Ez akkor és csak akkor áll fenn, ha $A B = B C$ , vagyis ha az $A B C$ háromszög egyenlő szárú.

A Thalész-körben az

A_{1} B_{1}

ívhez tartozó középponti szög

A_{1} C_{1} B_{1} ∢ = 60^{\circ}

. Az ugyanehhez az ívhez tartozó kerületi szög ezért

\frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}

, tehát

A_{1} B B_{1} ∢ = 30^{\circ}

. De

B B_{1}

szögfelező, ezért

C B A ∢ = 2 \cdot A_{1} B B_{1} ∢ = 60^{\circ}

. Az

A B C

egyenlő szárú háromszög szárszöge

60^{\circ}

, tehát a háromszög szabályos. Ezzel feladatunk állítását beláttuk.

Pálinkás Csaba (Szolnok, Verseghy Ferenc Gimn., 9. évf.)