Feladat: B.3553 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Pálinkás Csaba 
Füzet: 2002/december, 547. oldal  PDF file
Témakör(ök): Súlyvonal, Középponti és kerületi szögek, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Szögfelező egyenes, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/május: B.3553

Az ABC háromszög A csúcsából induló magasság, B csúcsából induló szögfelező és C csúcsából induló súlyvonal a szemközti oldalakat rendre az A1, B1, C1 pontokban metszi. Bizonyítsuk be, hogy ha az A1B1C1 háromszög szabályos, akkor az ABC háromszög is szabályos.
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az AB szakasz A1-ből derékszögben látszik, ezért A1 rajta van AB Thalész-körén. E kör középpontja AB felezőpontja, vagyis C1. Mivel a C1A1B1 háromszög szabályos, ezen a Thalész-körön a B1 pont is rajta van. Ezért AB a B1-ből is derékszögben látszik, vagyis a BB1 szögfelező egyben a B csúcshoz tartozó magasság is. Ez akkor és csak akkor áll fenn, ha AB=BC, vagyis ha az ABC háromszög egyenlő szárú.

 
 

A Thalész-körben az A1B1 ívhez tartozó középponti szög A1C1B1=60. Az ugyanehhez az ívhez tartozó kerületi szög ezért 602=30, tehát A1BB1=30. De BB1 szögfelező, ezért CBA=2A1BB1=60. Az ABC egyenlő szárú háromszög szárszöge 60, tehát a háromszög szabályos. Ezzel feladatunk állítását beláttuk.
Pálinkás Csaba (Szolnok, Verseghy Ferenc Gimn., 9. évf.)