Kezdőlap


Feladat:	B.3543	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2002/december, 542 - 543. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Négyzetek, Sokszög lefedések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/április: B.3543

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha egy négyzet szemközti oldalain lévő $A$ és $B$ , illetve $D$ és $E$ pontokat összekötő szakaszok merőlegesek egymásra, akkor az 1. ábrán látható $A B C$ és $D E F$ háromszögek egybevágóak, mert megfelelő szögeik páronként megegyeznek, és $B C = D F$ , hiszen mindkettő megegyezik a négyzet oldalával. Ezért $A B = D E$ és $A C = E F$ is teljesül. Ez utóbbi egyenlőségből következik, hogy ha a feladatunkban szereplő lyukas négyzet oldalain lévő szakaszok hosszát a 2. ábrán látható módon jelöljük, akkor $a - (c + k_{1}) = (b - k_{2}) - d$ . Viszont $k_{1} = k_{2}$ következik abból, hogy a lyuk is négyzet, ezért

\begin{matrix} a - c = b - d . \end{matrix}

(1)

1. ábra

2. ábra

3. ábra

Ezt az összefüggést használjuk majd fel annak bizonyítására, hogy a feladatban szereplő négy négyszögből másképp is összeállítható egy lyukas négyzet. Válasszuk az eredeti négyzet oldalát 1 hosszúságúnak és használjuk a szakaszhosszakra, pontokra, szögekre és négyszögekre a 3. ábra jelöléseit. Az ábrán megjelölt

α

β

szögek összege nyilván

180^{\circ}

4. ábra

Toljuk el az I. négyszöget úgy, hogy

A

csúcsa

D

-be kerüljön, a III. négyszöget pedig úgy, hogy

B

csúcsa

B

-be kerüljön. Az eltolás során a pontok képét vesszővel jelöljük (4. ábra). Ekkor

\begin{matrix} L K' = D K' - D L = A' K' - D L = A K - D L = b - d, \end{matrix}

továbbá

\begin{matrix} M' L = C L - C M' = C L - B' M' = C L - B M = a - c . \end{matrix}

Vagyis (1)-et felhasználva kapjuk, hogy

L K'

és

M' L

egyenlő hosszú és egymásra merőleges szakaszok. Ezért az

M'

L

K'

ponthármashoz egyértelműen létezik az a

T

pont, melyre az

M' L K' T

négyszög négyzet. Sőt, az is igaz, hogy

T

rajta van az

M' D'

egyenesen, mert ez az egyenes merőleges

M' L

-re.
Megmutatjuk, hogy a II. négyszög eltolható úgy, hogy

A

képe

D'

N

képe

T

B

képe pedig

C'

legyen. Mivel

\begin{matrix} T K' = M' L = a - c, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} T C' = T K' + K' C' = (a - c) + (1 - a) = 1 - c = N B, \end{matrix}

M' T = L K' = b - d

összefüggésből pedig következik, hogy

\begin{matrix} T D' = M' D' - M' T = (1 - d) - (b - d) = 1 - b = N A . \end{matrix}

Végül pedig felhasználva, hogy az I

'

. négyszög

C'

-nél lévő szöge

α

, a III

'

. négyszög

D'

-nél lévő szöge pedig

β

, következik, hogy a II. négyszög eltolható a kívánt módon.
Tehát a négy négyszögből a 4. ábrán látható módon is összeállítható egy négyzet alakú lyukat is tartalmazó négyszög. E nagy négyszög is négyzet, mert az eltolásokból következően minden szöge derékszög, továbbá

U V = V W

is következik az eltolásokból, valamint az 1. ábrán bizonyított

A B = D E

egyenlőségből.