Feladat: B.3543 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 2002/december, 542 - 543. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai bizonyítások, Négyzetek, Sokszög lefedések, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/április: B.3543

Egy négyzet alakú papírlapon egy négyzet alakú lyuk van. A lyuk mindegyik oldalát meghosszabbítottuk pozitív körüljárás szerinti irányban. Tegyük fel, hogy az így kapott félegyenesek a papírt négy négyszögre bontják az ábra szerint. Igazoljuk, hogy ebből a négy négyszögből másképpen is összeállítható egy négyzet, amelyben van egy négyzet alakú lyuk.
 
 


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha egy négyzet szemközti oldalain lévő A és B, illetve D és E pontokat összekötő szakaszok merőlegesek egymásra, akkor az 1. ábrán látható ABC és DEF háromszögek egybevágóak, mert megfelelő szögeik páronként megegyeznek, és BC=DF, hiszen mindkettő megegyezik a négyzet oldalával. Ezért AB=DE és AC=EF is teljesül. Ez utóbbi egyenlőségből következik, hogy ha a feladatunkban szereplő lyukas négyzet oldalain lévő szakaszok hosszát a 2. ábrán látható módon jelöljük, akkor a-(c+k1)=(b-k2)-d. Viszont k1=k2 következik abból, hogy a lyuk is négyzet, ezért

a-c=b-d.(1)

 
 

1. ábra

 
 

2. ábra
 

 

3. ábra
 

Ezt az összefüggést használjuk majd fel annak bizonyítására, hogy a feladatban szereplő négy négyszögből másképp is összeállítható egy lyukas négyzet. Válasszuk az eredeti négyzet oldalát 1 hosszúságúnak és használjuk a szakaszhosszakra, pontokra, szögekre és négyszögekre a 3. ábra jelöléseit. Az ábrán megjelölt α, β szögek összege nyilván 180.
 
 

4. ábra
 

Toljuk el az I. négyszöget úgy, hogy A csúcsa D-be kerüljön, a III. négyszöget pedig úgy, hogy B csúcsa B-be kerüljön. Az eltolás során a pontok képét vesszővel jelöljük (4. ábra). Ekkor
LK'=DK'-DL=A'K'-DL=AK-DL=b-d,
továbbá
M'L=CL-CM'=CL-B'M'=CL-BM=a-c.
Vagyis (1)-et felhasználva kapjuk, hogy LK' és M'L egyenlő hosszú és egymásra merőleges szakaszok. Ezért az M', L, K' ponthármashoz egyértelműen létezik az a T pont, melyre az M'LK'T négyszög négyzet. Sőt, az is igaz, hogy T rajta van az M'D' egyenesen, mert ez az egyenes merőleges M'L-re.
Megmutatjuk, hogy a II. négyszög eltolható úgy, hogy A képe D', N képe T, B képe pedig C' legyen. Mivel
TK'=M'L=a-c,
azért
TC'=TK'+K'C'=(a-c)+(1-a)=1-c=NB,
az M'T=LK'=b-d összefüggésből pedig következik, hogy
TD'=M'D'-M'T=(1-d)-(b-d)=1-b=NA.
Végül pedig felhasználva, hogy az I'. négyszög C'-nél lévő szöge α, a III'. négyszög D'-nél lévő szöge pedig β, következik, hogy a II. négyszög eltolható a kívánt módon.
Tehát a négy négyszögből a 4. ábrán látható módon is összeállítható egy négyzet alakú lyukat is tartalmazó négyszög. E nagy négyszög is négyzet, mert az eltolásokból következően minden szöge derékszög, továbbá UV=VW is következik az eltolásokból, valamint az 1. ábrán bizonyított AB=DE egyenlőségből.