Feladat: B.3534 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Péhl Judit 
Füzet: 2002/december, 539 - 540. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai bizonyítások, Háromszög-egyenlőtlenség alkalmazásai, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/március: B.3534

A futballpályán egy támadás során a csatár olyan törött vonal mentén futott, amelyet minden, a pálya valamelyik oldalával párhuzamos egyenes legfeljebb egyszer metsz. Igazoljuk, hogy a csatár nem futhatott többet a pálya két szomszédos oldalának összegénél.
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a törött vonal szakaszai s1,s2,...,sn, a futballpálya két szomszédos oldalának hossza pedig x és y. A törött vonal minden szakaszához, mint átfogóhoz derékszögű háromszöget készítünk úgy, hogy a befogók párhuzamosak legyenek a pálya két oldalával. A befogók x1,x2,...,xn, illetve y1,y2,...,yn. Ha ezeket a szakaszokat merőlegesen az oldalakra vetítjük, akkor a feladat feltétele szerint a vetületek között nincs átfedés.
Ezért

x1+x2+...+xnx,y1+y2+...+yny.
A háromszög-egyenlőtlenség alapján: x1+y1s1, x2+y2s2, ..., xn+ynsn. (Egyenlőség akkor van, ha a háromszög elfajuló, ekkor si párhuzamos a pálya egyik oldalával.)
Vagyis s1+s2+...+snx1+y1+x2+y2+...+xn+ynx+y.
Péhl Judit (Tatabánya, Árpád Gimn. és Pedagógiai Szki.) dolgozata alapján