Feladat: C.674 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 2002/december, 531 - 532. oldal  PDF file
Témakör(ök): Exponenciális egyenletek, Logaritmusos egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/április: C.674

Oldjuk meg az alábbi egyenletet:
x20=(52)logx50.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A kitevőben logx50-et írjuk át 10-es alapú logaritmusra:

logx50=lg50lgx.
Ezt beírjuk az egyenletbe és mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát vesszük:
lgx-lg20=lg50lgx(lg5-lg2).
Hozzunk közös nevezőre. Felhasználva, hogy lg20=1+lg2, lg50=1+lg5, a következő másodfokú egyenletet kapjuk lgx-re:
lg2x-(1+lg2)lgx-lg5(1+lg5)+lg2(1+lg5).
Innen
lgx=lg2+1±(1+lg2)2+4lg5(1+lg5)-4lg2(1+lg5)2.
A gyökjel alatti műveleteket elvégezve a gyökjel alatt a (2lg5-lg2+1)2 áll. Így
lgx1=lg2+1+2lg5-lg2+12=1+lg5=lg10+lg5=lg50,x1=50,
illetve
lgx2=lg2+1-2lg5+lg2-12=lg2-lg5=lg25,x2=25.
Mindkét szám megoldása is az egyenletnek.
 
II. megoldás. x1=50 nyilván megoldás, ezért keressük a továbbiakban a 0<x1;50 megoldásokat. A logaritmus azonosságainak felhasználásával:
x20=x5052=(52)logx50,x50=(52)logx50-1=(52)logx50-logxx=(52)logx50x=(52)1log50xx,(x50)log50xx=52,1x=52,x=25.
A feladat megoldásai: x1=50 és x2=25.