Kezdőlap


Feladat:	C.674	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2002/december, 531 - 532. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenletek, Logaritmusos egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/április: C.674

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A kitevőben $log_{x} 50$ -et írjuk át 10-es alapú logaritmusra:

\begin{matrix} log_{x} 50 = \frac{lg 50}{lg x} . \end{matrix}

Ezt beírjuk az egyenletbe és mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát vesszük:

\begin{matrix} lg x - lg 20 = \frac{lg 50}{lg x} (lg 5 - lg 2) . \end{matrix}

Hozzunk közös nevezőre. Felhasználva, hogy

lg 20 = 1 + lg 2

lg 50 = 1 + lg 5

, a következő másodfokú egyenletet kapjuk

lg x

-re:

\begin{matrix} lg^{2} x - (1 + lg 2) lg x - lg 5 (1 + lg 5) + lg 2 (1 + lg 5) . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} lg x = \frac{lg 2 + 1 \pm \sqrt[]{{(1 + lg 2)}^{2} + 4 lg 5 (1 + lg 5) - 4 lg 2 (1 + lg 5)}}{2} . \end{matrix}

A gyökjel alatti műveleteket elvégezve a gyökjel alatt a

{(2 lg 5 - lg 2 + 1)}^{2}

áll. Így

\begin{matrix} lg x_{1} = \frac{lg 2 + 1 + 2 lg 5 - lg 2 + 1}{2} = 1 + lg 5 = lg 10 + lg 5 = lg 50, x_{1} = 50, \end{matrix}

illetve

\begin{matrix} lg x_{2} = \frac{lg 2 + 1 - 2 lg 5 + lg 2 - 1}{2} = lg 2 - lg 5 = lg \frac{2}{5}, x_{2} = \frac{2}{5} . \end{matrix}

Mindkét szám megoldása is az egyenletnek.

II. megoldás.

x_{1} = 50

nyilván megoldás, ezért keressük a továbbiakban a

0 < x \neq 1; 50

megoldásokat. A logaritmus azonosságainak felhasználásával:

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{x}{20} & = \frac{x}{50} \cdot \frac{5}{2} = {(\frac{5}{2})}^{log_{x} 50}, \\ \frac{x}{50} = {(\frac{5}{2})}^{log_{x} 50 - 1} & = {(\frac{5}{2})}^{log_{x} 50 - log_{x} x} = {(\frac{5}{2})}^{log_{x} \frac{50}{x}} = {(\frac{5}{2})}^{\frac{1}{log_{\frac{50}{x}} x}}, \\ {(\frac{x}{50})}^{log_{\frac{50}{x}} x} & = \frac{5}{2}, \frac{1}{x} = \frac{5}{2}, x = \frac{2}{5} . \end{matrix} \end{matrix}

A feladat megoldásai:

x_{1} = 50

és

x_{2} = \frac{2}{5}