Feladat: C.673 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 2002/december, 531. oldal  PDF file
Témakör(ök): Klasszikus valószínűség, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/április: C.673

A 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számok közül kétszer választunk véletlenszerűen. (Ugyanazt a számot kétszer is kiválaszthatjuk.) Minek nagyobb a valószínűsége: annak, hogy a két szám összege, vagy annak, hogy a különbségük osztható 3-mal?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje a az először kiválasztott számot és b a másodikat. A kérdés az, hogy u=a+b vagy v=a-b lesz-e több esetben osztható 3-mal. Az esetek megszámlálásához célszerű a lehetőségeket csoportosítani.
Amennyiben a és b mindegyike osztható 3-mal, akkor u és v bármelyike ugyancsak osztható 3-mal. Ha a és b közül csak az egyik osztható 3-mal, akkor u és v egyike sem lesz 3-mal osztható.
Vizsgálnunk kell még azokat a lehetőségeket, amikor a két kiválasztott szám egyike sem osztható 3-mal. Ezeket is célszerű aszerint csoportosítani, hogy a számok 3-mal osztva 1-et vagy 2-t adnak-e maradékul. Ez két halmaz: A={1,4,7} és B={2,5,8}. Ha a és b mindegyike vagy az A, vagy a B halmazból való, akkor a-b osztható 3-mal, de a+b nem. Ez összesen 33+33=18 lehetőség. Amennyiben a és b egyike az A halmazból, másikuk a B halmazból való, akkor viszont a-b nem osztható 3-mal, de a+b osztható 3-mal. Ez ugyancsak 33+33=18 lehetőség. Az összeg és a különbség tehát ugyanannyi esetben osztható 3-mal, a két esemény valószínűsége egyenlő.

 
Megjegyzés. Tekintettel a kapott eredményre, felmerül a kérdés, hogy nem lehetne-e ezt a lehetőségek párosításával, esetszétválasztás nélkül bizonyítani. Ez valóban lehetséges.
Minden kiválasztott (a,b) párhoz rendeljük hozzá az (a,9-b) párt. 9-(9-b)=b miatt ez kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés (bijekció), hiszen b-vel együtt 9-b is végigfut az adott halmazon. Mivel 9 páratlan, 9-b=b lehetetlen, ezért minden párhoz egy tőle különbözőt rendeltünk. Mármost a-(9-b)=a+b-9 alapján a második pár különbsége pontosan akkor osztható 3-mal, ha az első pár összege osztható 3-mal, ezért valóban mindkét eset ugyanannyiszor fordul elő.
Világos, hogy ugyanezzel az eljárással bizonyítható az eredmény a 9 helyett a 3 minden páratlan többszörösére. Számos dolgozatban az összes eset felírása szerepelt (ami természetesen helyes megoldás). De 9 helyett például 999 esetén szinte lehetetlen volna. Ebben az esetben a fenti megoldás is nehezebb lenne.