A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelölje az először kiválasztott számot és a másodikat. A kérdés az, hogy vagy lesz-e több esetben osztható 3-mal. Az esetek megszámlálásához célszerű a lehetőségeket csoportosítani. Amennyiben és mindegyike osztható 3-mal, akkor és bármelyike ugyancsak osztható 3-mal. Ha és közül csak az egyik osztható 3-mal, akkor és egyike sem lesz 3-mal osztható. Vizsgálnunk kell még azokat a lehetőségeket, amikor a két kiválasztott szám egyike sem osztható 3-mal. Ezeket is célszerű aszerint csoportosítani, hogy a számok 3-mal osztva 1-et vagy 2-t adnak-e maradékul. Ez két halmaz: és . Ha és mindegyike vagy az , vagy a halmazból való, akkor osztható 3-mal, de nem. Ez összesen lehetőség. Amennyiben és egyike az halmazból, másikuk a halmazból való, akkor viszont nem osztható 3-mal, de osztható 3-mal. Ez ugyancsak lehetőség. Az összeg és a különbség tehát ugyanannyi esetben osztható 3-mal, a két esemény valószínűsége egyenlő.
Megjegyzés. Tekintettel a kapott eredményre, felmerül a kérdés, hogy nem lehetne-e ezt a lehetőségek párosításával, esetszétválasztás nélkül bizonyítani. Ez valóban lehetséges. Minden kiválasztott párhoz rendeljük hozzá az párt. miatt ez kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés (bijekció), hiszen -vel együtt is végigfut az adott halmazon. Mivel 9 páratlan, lehetetlen, ezért minden párhoz egy tőle különbözőt rendeltünk. Mármost alapján a második pár különbsége pontosan akkor osztható 3-mal, ha az első pár összege osztható 3-mal, ezért valóban mindkét eset ugyanannyiszor fordul elő. Világos, hogy ugyanezzel az eljárással bizonyítható az eredmény a 9 helyett a 3 minden páratlan többszörösére. Számos dolgozatban az összes eset felírása szerepelt (ami természetesen helyes megoldás). De 9 helyett például 999 esetén szinte lehetetlen volna. Ebben az esetben a fenti megoldás is nehezebb lenne. |