Kezdőlap


Feladat:	C.670	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2002/december, 528. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Természetes számok, Oszthatóság, Számelrendezések, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/április: C.670

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a kilenc számot az ábécé kisbetűivel $a$ -tól $i$ -ig és írjuk be a táblázatba (ábra). A feltétel szerint $11 ∣ \bar{a b c}$ , vagyis $11 ∣ a - b + c$ , és hasonlóképpen

\begin{matrix} 11 ∣ d - e + f, 11 ∣ g - h + i, 11 ∣ b - e + h; \end{matrix}

ez utóbbiból következik, hogy

\begin{matrix} 11 ∣ 2 b - 2 e + 2 h . \end{matrix}

(1)

A jobb oldalon álló első három előjeles összeget összeadva, felhasználva (1)-et és azt, hogy az első kilenc pozitív egész összege 45, kapjuk, hogy

\begin{matrix} 11 ∣ a + b + c + d + e + f + g + h + i - 4 e = 45 - 4 e . \end{matrix}

Ebből következik, hogy a táblázat közepén

e = 3

áll, ugyanis csak ekkor lesz osztója a 11 a

(45 - 4 e)

-nek.
Ezután nézzük meg, mely számok állhatnak a táblázat középső oszlopában, sorában, illetve a bal felső csúcsból induló átlóban.

Egy háromjegyű szám akkor osztható 11-gyel, ha a két szélső jegyének összegéből a középsőt kivonva a különbség vagy 0, vagy 11. Most csak a 3-tól és egymástól különböző számokat keressük.
Ha

x - 3 + y = 0

, akkor

x + y = 3

, innen

x = 1

és

y = 2

vagy

x = 2

és

y = 1

.
Ha

x - 3 + y = 11

, akkor

x + y = 14

. Ennek a következő számpárok tesznek eleget:

\begin{matrix} (5,9); (6,8); (8,6) és (9,5) . \end{matrix}

Tehát a táblázat hat bekarikázott helyén ‐ valamilyen sorrendben ‐ az 1, 2, 5, 6, 8, 9 számok állnak. Ezek között nem szerepel a 4 és 7, azaz a másik átlóban 437 vagy 734 áll.
A számoknak többféle elrendezése is lehetséges, ezekből kettőt bemutatunk.