Feladat: C.670 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 2002/december, 528. oldal  PDF file
Témakör(ök): Természetes számok, Oszthatóság, Számelrendezések, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/április: C.670

Egy 3×3-as táblázatba beírtuk az első kilenc pozitív egész számot, mindegyiket egyszer. Tegyük föl, hogy a három sorban balról jobbra, a három oszlopban fölülről lefelé, illetve a bal fölső csúcsból kiinduló átlón kiolvasható háromjegyű számok mindegyike osztható 11-gyel. Mekkora lehet a jobb fölső sarokból kiinduló átlón kiolvasható háromjegyű szám értéke?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a kilenc számot az ábécé kisbetűivel a-tól i-ig és írjuk be a táblázatba (ábra). A feltétel szerint 11abc¯, vagyis 11a-b+c, és hasonlóképpen

11d-e+f,11g-h+i,11b-e+h;
ez utóbbiból következik, hogy
112b-2e+2h.(1)
A jobb oldalon álló első három előjeles összeget összeadva, felhasználva (1)-et és azt, hogy az első kilenc pozitív egész összege 45, kapjuk, hogy
11a+b+c+d+e+f+g+h+i-4e=45-4e.
Ebből következik, hogy a táblázat közepén e=3 áll, ugyanis csak ekkor lesz osztója a 11 a (45-4e)-nek.
Ezután nézzük meg, mely számok állhatnak a táblázat középső oszlopában, sorában, illetve a bal felső csúcsból induló átlóban.
 
 

Egy háromjegyű szám akkor osztható 11-gyel, ha a két szélső jegyének összegéből a középsőt kivonva a különbség vagy 0, vagy 11. Most csak a 3-tól és egymástól különböző számokat keressük.
Ha x-3+y=0, akkor x+y=3, innen x=1 és y=2 vagy x=2 és y=1.
Ha x-3+y=11, akkor x+y=14. Ennek a következő számpárok tesznek eleget:
(5,9);(6,8);(8,6)és(9,5).
Tehát a táblázat hat bekarikázott helyén ‐ valamilyen sorrendben ‐ az 1, 2, 5, 6, 8, 9 számok állnak. Ezek között nem szerepel a 4 és 7, azaz a másik átlóban 437 vagy 734 áll.
A számoknak többféle elrendezése is lehetséges, ezekből kettőt bemutatunk.