Feladat: C.668 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 2002/december, 526 - 527. oldal  PDF file
Témakör(ök): Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/március: C.668

Adott az ABC egyenlő oldalú háromszög. Hol vannak azok a P pontok a háromszög síkjában, amelyekre PA2=PB2+PC2?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az a oldalú ABC háromszöget helyezzük el a koordinátarendszerben az ábra szerint. Csúcspontjainak koordinátái:

A(0;a32);B(a2,0);C(-a2,0).
A P pont koordinátái: P(x;y). Az ismert távolságképlet felhasználásával felírhatjuk a PA, PB, PC távolságok négyzetét:
PA2=x2+(y-a32)2,PB2=(x-a2)2+y2,PC2=(x+a2)2+y2.

 
 

A négyzetekre vonatkozó egyenlőséget felírva végezzük el a kijelölt műveleteket. Ekkor a következő egyenlethez jutunk:
x2+y2-a3y+3a24==x2-ax+a24+y2+x2+ax+a24+y2.
Rendezzük az egyenletet és alakítsuk teljes négyzetté az x-et, illetve y-t tartalmazó tagokat. Így kapjuk, hogy
x2+(y+a32)2=a2,
ami kör egyenlete. A kör középpontja O(0;-a32), sugara a.
A keresett P pontok ezen a körön helyezkednek el. Lépéseink megfordíthatók, így a kör minden pontja hozzátartozik a keresett ponthalmazhoz.