Kezdőlap


Feladat:	C.668	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2002/december, 526 - 527. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/március: C.668

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $a$ oldalú $A B C$ háromszöget helyezzük el a koordinátarendszerben az ábra szerint. Csúcspontjainak koordinátái:

\begin{matrix} A (0; \frac{a \sqrt[]{3}}{2}); B (\frac{a}{2},0); C (- \frac{a}{2},0) . \end{matrix}

P

pont koordinátái:

P (x; y)

. Az ismert távolságképlet felhasználásával felírhatjuk a

P A

P B

P C

távolságok négyzetét:

\begin{matrix} P A^{2} = x^{2} + {(y - \frac{a \sqrt[]{3}}{2})}^{2}, P B^{2} = {(x - \frac{a}{2})}^{2} + y^{2}, P C^{2} = {(x + \frac{a}{2})}^{2} + y^{2} . \end{matrix}

A négyzetekre vonatkozó egyenlőséget felírva végezzük el a kijelölt műveleteket. Ekkor a következő egyenlethez jutunk:

\begin{matrix} \begin{matrix} x^{2} + y^{2} - a \sqrt[]{3} y + \frac{3 a^{2}}{4} = \\ = x^{2} - a x + \frac{a^{2}}{4} + y^{2} + x^{2} + a x + \frac{a^{2}}{4} + y^{2} . \end{matrix} \end{matrix}

Rendezzük az egyenletet és alakítsuk teljes négyzetté az

x

-et, illetve

y

-t tartalmazó tagokat. Így kapjuk, hogy

\begin{matrix} x^{2} + {(y + \frac{a \sqrt[]{3}}{2})}^{2} = a^{2}, \end{matrix}

ami kör egyenlete. A kör középpontja

O (0; \frac{- a \sqrt[]{3}}{2})

, sugara

a

.
A keresett

P

pontok ezen a körön helyezkednek el. Lépéseink megfordíthatók, így a kör minden pontja hozzátartozik a keresett ponthalmazhoz.