Feladat: B.3518 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bérczi Kristóf ,  Birkner Tamás ,  Bóka Gergely ,  Boros Balázs ,  Csáky Attila ,  Fejes Lívia ,  Garab Ábel ,  Hanyecz Veronika ,  Herczegh Attila ,  Horváth Márton ,  Kiss-Tóth Christián ,  Komjáthy Júlia ,  Kovács Levente ,  Maga Péter ,  Mészáros Tamás ,  Nagy Gábor ,  Nyeste Szabolcs ,  Pallos Péter ,  Pósfai Márton ,  Rácz Béla András ,  Rácz Judit ,  Révész Dániel ,  Salát Máté ,  Sándor Ágnes ,  Sándor Nóra Katalin ,  Simon Balázs ,  Siroki László ,  Sparing Dániel ,  Zsbán Ambrus 
Füzet: 2002/október, 416 - 417. oldal  PDF file
Témakör(ök): Terület, felszín, Térfogat, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/január: B.3518

Igaz-e, hogy ha két tetraéder lapjai megfeleltethetők úgy, hogy az egymásnak megfeleltetett lapok egyenlő területűek, akkor a két tetraéder térfogata is egyenlő?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az állítás nem igaz. Megmutatjuk, hogy vannak olyan, ún. egyenlő oldalú ‐ azaz négy egybevágó háromszöglappal rendelkező ‐ tetraéderek, melyek lapjai egyenlő területűek, de a két tetraéder térfogata különböző.
Felhasználjuk, hogy minden tetraédernek van bennfoglaló paralelepipedonja, és a két test térfogatának aránya 1:3. (Ezeknek az állításoknak a bizonyítása megtalálható pl. a Geometriai feladatok gyűjteménye I. kötetének 2069. és 2083. feladataiban.) Az is könnyen igazolható, hogy ha a bennfoglaló paralelepipedon téglatest, akkor a tetraéder egyenlő oldalú (1. ábra).

 

 
1. ábra
 

Legyen az egyik tetraéderünk bennfoglaló paralelepipedonja olyan téglatest, melynek egy csúcsban találkozó három éle rendre 3 m, 3 m és 4 m hosszú. Ekkor a lapátlók, vagyis a tetraéder élei rendre 32 m, 5 m és 5 m hosszúak. A tetraéder lapjai tehát olyan egyenlőszárú háromszögek, melyek alapja 32 m, szárai pedig 5 m hosszúak. Ezért az alaphoz tartozó magasság Pitagorasz tétele alapján 52-(322)2=412 (2. ábra), vagyis a lapok területe 324122m2=3241m2.
 

 
2. ábra
 

Legyen a másik tetraéderünk bennfoglaló paralelepipedonja egy 3413 m élű kocka. Ekkor a tetraéder egy 23413 m élű szabályos tetraéder, tehát lapjainak területe 34(23413)2m2=3241m2.
Tehát a két tetraéder lapjai egyenlő területűek, az első térfogata 13334m3=12m3, a másodiké viszont 13(3413)3m312,31m3.
Sparing Dániel (Budapest, ELTE Radnóti M. Gyakorlóisk., 11. évf.) dolgozata alapján