|
Feladat: |
B.3518 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bérczi Kristóf , Birkner Tamás , Bóka Gergely , Boros Balázs , Csáky Attila , Fejes Lívia , Garab Ábel , Hanyecz Veronika , Herczegh Attila , Horváth Márton , Kiss-Tóth Christián , Komjáthy Júlia , Kovács Levente , Maga Péter , Mészáros Tamás , Nagy Gábor , Nyeste Szabolcs , Pallos Péter , Pósfai Márton , Rácz Béla András , Rácz Judit , Révész Dániel , Salát Máté , Sándor Ágnes , Sándor Nóra Katalin , Simon Balázs , Siroki László , Sparing Dániel , Zsbán Ambrus |
Füzet: |
2002/október,
416 - 417. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Terület, felszín, Térfogat, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2002/január: B.3518 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az állítás nem igaz. Megmutatjuk, hogy vannak olyan, ún. egyenlő oldalú ‐ azaz négy egybevágó háromszöglappal rendelkező ‐ tetraéderek, melyek lapjai egyenlő területűek, de a két tetraéder térfogata különböző. Felhasználjuk, hogy minden tetraédernek van bennfoglaló paralelepipedonja, és a két test térfogatának aránya . (Ezeknek az állításoknak a bizonyítása megtalálható pl. a Geometriai feladatok gyűjteménye I. kötetének 2069. és 2083. feladataiban.) Az is könnyen igazolható, hogy ha a bennfoglaló paralelepipedon téglatest, akkor a tetraéder egyenlő oldalú (1. ábra).
1. ábra Legyen az egyik tetraéderünk bennfoglaló paralelepipedonja olyan téglatest, melynek egy csúcsban találkozó három éle rendre 3 m, 3 m és 4 m hosszú. Ekkor a lapátlók, vagyis a tetraéder élei rendre m, 5 m és 5 m hosszúak. A tetraéder lapjai tehát olyan egyenlőszárú háromszögek, melyek alapja m, szárai pedig 5 m hosszúak. Ezért az alaphoz tartozó magasság Pitagorasz tétele alapján (2. ábra), vagyis a lapok területe .
2. ábra Legyen a másik tetraéderünk bennfoglaló paralelepipedonja egy m élű kocka. Ekkor a tetraéder egy m élű szabályos tetraéder, tehát lapjainak területe . Tehát a két tetraéder lapjai egyenlő területűek, az első térfogata , a másodiké viszont .
Sparing Dániel (Budapest, ELTE Radnóti M. Gyakorlóisk., 11. évf.) dolgozata alapján |
|
|