Kezdőlap


Feladat:	B.3518	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bérczi Kristóf , Birkner Tamás , Bóka Gergely , Boros Balázs , Csáky Attila , Fejes Lívia , Garab Ábel , Hanyecz Veronika , Herczegh Attila , Horváth Márton , Kiss-Tóth Christián , Komjáthy Júlia , Kovács Levente , Maga Péter , Mészáros Tamás , Nagy Gábor , Nyeste Szabolcs , Pallos Péter , Pósfai Márton , Rácz Béla András , Rácz Judit , Révész Dániel , Salát Máté , Sándor Ágnes , Sándor Nóra Katalin , Simon Balázs , Siroki László , Sparing Dániel , Zsbán Ambrus
Füzet:	2002/október, 416 - 417. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Térfogat, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/január: B.3518

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az állítás nem igaz. Megmutatjuk, hogy vannak olyan, ún. egyenlő oldalú ‐ azaz négy egybevágó háromszöglappal rendelkező ‐ tetraéderek, melyek lapjai egyenlő területűek, de a két tetraéder térfogata különböző.
Felhasználjuk, hogy minden tetraédernek van bennfoglaló paralelepipedonja, és a két test térfogatának aránya $1 : 3$ . (Ezeknek az állításoknak a bizonyítása megtalálható pl. a Geometriai feladatok gyűjteménye I. kötetének 2069. és 2083. feladataiban.) Az is könnyen igazolható, hogy ha a bennfoglaló paralelepipedon téglatest, akkor a tetraéder egyenlő oldalú (1. ábra).

1. ábra

Legyen az egyik tetraéderünk bennfoglaló paralelepipedonja olyan téglatest, melynek egy csúcsban találkozó három éle rendre 3 m, 3 m és 4 m hosszú. Ekkor a lapátlók, vagyis a tetraéder élei rendre

3 \cdot \sqrt[]{2}

m, 5 m és 5 m hosszúak. A tetraéder lapjai tehát olyan egyenlőszárú háromszögek, melyek alapja

3 \cdot \sqrt[]{2}

m, szárai pedig 5 m hosszúak. Ezért az alaphoz tartozó magasság Pitagorasz tétele alapján

\sqrt[]{5^{2} - {(\frac{3 \cdot \sqrt[]{2}}{2})}^{2}} = \sqrt[]{\frac{41}{2}}

(2. ábra), vagyis a lapok területe

\frac{3 \cdot \sqrt[]{2} \cdot \sqrt[]{\frac{41}{2}}}{2} m^{2} = \frac{3}{2} \sqrt[]{41} m^{2}

2. ábra

Legyen a másik tetraéderünk bennfoglaló paralelepipedonja egy

\sqrt[]{3 \cdot \sqrt[]{\frac{41}{3}}}

m élű kocka. Ekkor a tetraéder egy

\sqrt[]{2} \cdot \sqrt[]{3 \cdot \sqrt[]{\frac{41}{3}}}

m élű szabályos tetraéder, tehát lapjainak területe

\frac{\sqrt[]{3}}{4} \cdot {(\sqrt[]{2} \cdot \sqrt[]{3 \cdot \sqrt[]{\frac{41}{3}}})}^{2} m^{2} = \frac{3}{2} \sqrt[]{41} m^{2}

.
Tehát a két tetraéder lapjai egyenlő területűek, az első térfogata

\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 m^{3} = 12 m^{3}

, a másodiké viszont

\frac{1}{3} {(\sqrt[]{3 \cdot \sqrt[]{\frac{41}{3}}})}^{3} m^{3} \approx 12, 31 m^{3}

Sparing Dániel (Budapest, ELTE Radnóti M. Gyakorlóisk., 11. évf.) dolgozata alapján