Feladat: B.3501 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bérczi Kristóf ,  Boros Balázs ,  Csáky Attila ,  Fehér Gábor ,  Gregó Kinga ,  Hablicsek Márton ,  Hamar Gergő ,  Horváth Márton ,  Hubai Tamás ,  Kalcsú Áron ,  Kocsis Albert Tihamér ,  Koltai Péter ,  Maga Péter ,  Pál Ágnes ,  Paulin Dániel ,  Rácz Béla András ,  Rendes Gábor ,  Salát Máté ,  Sásdy Gabriella ,  Simon Balázs ,  Spátay Mónika ,  Varga Nóra 
Füzet: 2002/április, 229 - 230. oldal  PDF file
Témakör(ök): Koordináta-geometria, Tengely körüli forgatás, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2001/november: B.3501

Adottak a térbeli koordinátarendszerben az A(1,1,1) és a P(1,1,0) pontok. Forgassuk el az OA félegyenes körül pozitív irányban 60-os szöggel a P pontot. Határozzuk meg az elforgatott pont koordinátáit.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Annak a kockának, amelynek OA a testátlója, P az A-val élben szomszédos egyik csúcsa. Ekkor a másik két A-val szomszédos csúcs az A-ból nézve pozitív irányban Q(0;1;1) és R(1;0;1) (1. ábra). Ekkor a PQR háromszög szabályos. Az OA tengely körüli pozitív irányú 120-os forgatás a kockát és így a PQR háromszöget is önmagába viszi. A P pontot az OA tengely körül forgatva az a PQR háromszög síkjában forog a tengely és a sík C döféspontja körül (2. ábra).

 

 
1. ábra

 

 
2. ábra
 

A PQR háromszög síkjában kell tehát a P pontot a C körül pozitív 60-kal elforgatnunk. Ehhez szükség van a C pont koordinátáira, amelyeket többféleképpen is meghatározhatunk.
A kockában AP+AQ+AR=AO, másrészt ha S a PQR háromszög súlypontja, akkor ismeretes, hogy AP+AQ+AR=3AS. Így a PQR sík S pontjára 3AS=AO, a PQR sík az OA szakaszt annak O-tól távolabbi harmadolópontjában metszi: C=S(23;23;23).
A C körüli pozitív 60-os forgatás a C körüli negatív 120-os és egy pozitív 180-os ‐ utóbbi C-re vonatkozó tükrözés ‐ forgatás egymásutánjaként áll elő. Így a keresett P' pont a P C körüli negatív 120-os elforgatottjának, az R-nek a C-re vonatkozó tükörképe (3. ábra).
 

 
3. ábra
 

A megfelelő helyvektorok felhasználásával c=p'+r2, ahonnan p'=2c-r. A P' koordinátái így 43-1; 43; 43-1, azaz P'(13;43;13).
Több dolgozat alapján

 
Megjegyzés: Az OA félegyenes körüli pozitív forgásirány abból a féltérből nézve értendő, ahová a félegyenes mutat.