Kezdőlap


Feladat:	B.3501	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bérczi Kristóf , Boros Balázs , Csáky Attila , Fehér Gábor , Gregó Kinga , Hablicsek Márton , Hamar Gergő , Horváth Márton , Hubai Tamás , Kalcsú Áron , Kocsis Albert Tihamér , Koltai Péter , Maga Péter , Pál Ágnes , Paulin Dániel , Rácz Béla András , Rendes Gábor , Salát Máté , Sásdy Gabriella , Simon Balázs , Spátay Mónika , Varga Nóra
Füzet:	2002/április, 229 - 230. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Koordináta-geometria, Tengely körüli forgatás, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/november: B.3501

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Annak a kockának, amelynek $O A$ a testátlója, $P$ az $A$ -val élben szomszédos egyik csúcsa. Ekkor a másik két $A$ -val szomszédos csúcs az $A$ -ból nézve pozitív irányban $Q (0; 1; 1)$ és $R (1; 0; 1)$ (1. ábra). Ekkor a $P Q R$ háromszög szabályos. Az $O A$ tengely körüli pozitív irányú $120^{\circ}$ -os forgatás a kockát és így a $P Q R$ háromszöget is önmagába viszi. A $P$ pontot az $O A$ tengely körül forgatva az a $P Q R$ háromszög síkjában forog a tengely és a sík $C$ döféspontja körül (2. ábra).

1. ábra

2. ábra

P Q R

háromszög síkjában kell tehát a

P

pontot a

C

körül pozitív

60^{\circ}

-kal elforgatnunk. Ehhez szükség van a

C

pont koordinátáira, amelyeket többféleképpen is meghatározhatunk.
A kockában

\vec{A P} + \vec{A Q} + \vec{A R} = \vec{A O}

, másrészt ha

S

P Q R

háromszög súlypontja, akkor ismeretes, hogy

\vec{A P} + \vec{A Q} + \vec{A R} = 3 \vec{A S}

. Így a

P Q R

sík

S

pontjára

3 \vec{A S} = \vec{A O}

, a

P Q R

sík az

O A

szakaszt annak

O

-tól távolabbi harmadolópontjában metszi:

C = S (\frac{2}{3}; \frac{2}{3}; \frac{2}{3})

.
A

C

körüli pozitív

60^{\circ}

-os forgatás a

C

körüli negatív

120^{\circ}

-os és egy pozitív

180^{\circ}

-os ‐ utóbbi

C

-re vonatkozó tükrözés ‐ forgatás egymásutánjaként áll elő. Így a keresett

P'

pont a

P

C

körüli negatív

120^{\circ}

-os elforgatottjának, az

R

-nek a

C

-re vonatkozó tükörképe (3. ábra).

3. ábra

A megfelelő helyvektorok felhasználásával

c = \frac{p' + r}{2},

ahonnan

p' = 2 c - r .

P'

koordinátái így

\frac{4}{3} - 1

;

\frac{4}{3}

;

\frac{4}{3} - 1

, azaz

P' (\frac{1}{3}; \frac{4}{3}; \frac{1}{3})

Több dolgozat alapján

Megjegyzés: Az

O A

félegyenes körüli pozitív forgásirány abból a féltérből nézve értendő, ahová a félegyenes mutat.